Matematyka.pl

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) taki że \(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=1\\ a_{n+1}=\log_3(\sqrt[3]{a_n^3+1})+\frac{4}{3} \end{cases}.}\) Wykaż że jest zbieżny

Pokaż, że ten ciąg jest
1) rosnący
2) ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\)

Wskazówka do 1): prosta indukcja po \(\displaystyle{ n}\) plus obserwacja, że \(\displaystyle{ (a_n)}\) ma wyłącznie wyrazy dodatnie (jak chcesz być super formalny, to też indukcyjnie ten fakcik można wykazać). Otrzymasz coś w stylu
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\log_3\left( \text{ coś większego od 1}\right) >0}\)
Wskazówka do 2):
użyj jakichś znanych nierówności z logarytmem.