Matematyka.pl

Dany jest ciąg o wyrazach rzeczywistych, który określamy sobie przez rekurencje, jak zapisano poniżej, Wykaż ze każdy jego wyraz jest l. naturalna., i zbadaj monotoniczność... A czy istnieje nań wzór jawny...?jesli tak to podaj.
\(\displaystyle{ a_{n+3}=\frac{a_{n+2}a_{n+1}+1}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=1}\)

Zadanie to było zaprezentowane w jednym z artykułów w "Delcie". Przytoczę więc rozwiązanie, które zostało tam zamieszczone:
Udowodnimy wpierw, że \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{a_{n} + a_{n+2}}{a_{n+1}}}\) jest liczbą naturalną dla każej liczby naturalnej n.
Mamy \(\displaystyle{ a_{4}=2, b_{1}= \frac{a_{1}+a_{3}}{a_{2}}=2}\) oraz \(\displaystyle{ b_{2}=\frac{a_{2}+a_{4}}{a_{3}}=3}\). Dla \(\displaystyle{ n q 3}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{a_{n}+a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n} + \frac{a_{n+1}a_{n} +1}{a_{n-1} }}{a_{n+1} } = \frac{ a_{n} a_{n-1} +a_{n} a_{n+1} +1}{a_{n-1} a_{n+1}} = \\ \frac{a_{n+1} a_{n-2} + a_{n} a_{n+1} }{ a_{n+1} a_{n-1} }= \frac{ a_{n-2} + a_{n} }{a_{n-1} }= b_{n-2}}\)
Dlatego \(\displaystyle{ b_{2k}=b_{2}=3, b_{2k+1}=b_{1}=2}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{a_{2k+2} +a_{2k} }{a_{2k+1}}=3, \frac{a_{2k+3} +a_{2k+1}}{a_{2k+2}}=2}\), czyli \(\displaystyle{ a_{2k+2}=3a_{2k+1} - a_{2k}}\) i \(\displaystyle{ a_{2k+3}=2a_{2k+2} - a_{2k+1}}\), co kończy dowód faktu, że każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest liczbą naturalną.