Iloczyn granic górnych

[duze_jablko2]

Witam,

chcę zapytać czy zachodzi następująca własność:

\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} a_n b_n \le \limsup_{n \to \infty} a_n \limsup_{n \to \infty} b_n}\)

Jeżeli tak, to proszę o wytłumaczenie, co musimy wiedzieć o ciągach, aby zachodziła równość bądź po prostu nierówność.

[Premislav]

Nie zajdzie raczej coś takiego. \(\displaystyle{ a_n=b_n=-1}\)...
Natomiast gdyby \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\) miały wyrazy dodatnie, to już by działało.
Wtedy bowiem tak: dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) poza skończoną ich liczbą mamy
\(\displaystyle{ a_n \le \limsup_{n \to \infty}a_n}\)
i analogicznie dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) poza skończoną ich liczbą jest
\(\displaystyle{ b_n \le \limsup_{n \to \infty} b_n}\)
Więc dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) z wyjątkiem skończenie wielu mamy
\(\displaystyle{ a_n b_n \le \limsup_{n \to \infty}a_n \limsup_{n \to \infty}b_n}\)
i wystarczy obłożyć to granicą górną.

[a4karo]

A co powiesz o \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n}}\) ?

Musisz dodac choć kawałek epsilona -- 1 maja 2017, o 21:18 --

Nie zajdzie raczej coś takiego. \(\displaystyle{ a_n=b_n=-1...}\)

Tu akurat jest ok

[Premislav]

Ojej, ja chyba zapomniałem, co to jest granica górna. :c
Wstyd...-- 1 maja 2017, o 22:44 --Dokładniej, to dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i wszystkich \(\displaystyle{ n}\) poza skończoną liczbą jest
\(\displaystyle{ a_n \le \epsilon+\limsup_{n \to \infty}a_n}\) i tak dalej.

[duze_jablko2]

Chyba nie rozumiem zbytnio tego przykładu z \(\displaystyle{ a _{n}= b_{n}=-1}\)
Czy tam czasem nie wyjdzie równość dwóch stron?

[Premislav]

Tak, wyjdzie, ja się pomyliłem, na co zresztą zwrócił uwagę a4karo.

Zacznijmy od przypadku \(\displaystyle{ (a_n), (b_n)}\) o wyrazach nieujemnych i przyjmijmy, że ich granice górne są skończone:
ustalmy dowolne epsilon>0. Wówczas istnieje takie
\(\displaystyle{ n_1 \in \NN}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n>n_1}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n \le \limsup_{n \to \infty}a_n+\epsilon}\)
Analogicznie, istnieje takie \(\displaystyle{ n_2 \in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n>n_2}\) jest
\(\displaystyle{ b_n \le \limsup_{n \to \infty}b_n +\epsilon}\)
Skoro \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są nieujemne, to \(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty}a_n\ge 0 \wedge \limsup_{n \to \infty}b_n \ge 0}\), więc możemy zapisać, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) większego od \(\displaystyle{ \max(n_1,n_2)}\) zajdzie
\(\displaystyle{ a_n b_n \le \left(\limsup_{n \to \infty}a_n+\epsilon \right) \cdot \left( \limsup_{n \to \infty }b_n+\epsilon \right) = \limsup_{n \to \infty}a_n \limsup_{n \to \infty }b_n+\epsilon\left( \limsup_{n \to \infty}a_n+ \limsup_{n \to \infty }b_n \right)}\)
Tym bardziej więc
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty }a_n b_n \le \dots}\)

To, wobec dowolności \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), kończy dowód w tym przypadku.

Jeżeli opuścimy założenie o skończoności granic górnych, to
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty }a_n \cdot \limsup_{n \to \infty }b_n}\) nawet nie musi być dobrze określone, np. weźmy \(\displaystyle{ a_n=\frac 1 n, b_n=n}\).

Jeżeli opuścimy założenie o nieujemności wyrazów ciągów, to taka nierówność nie zajdzie, ale kontrprzykład jest inny: np. weźmy
\(\displaystyle{ a_n=-2-\frac 1 n, b_n=(-1)^n}\)
Wówczas \(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty }a_n b_n=2}\), ale
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty }a_n \cdot \limsup_{n \to \infty }b_n=-2 \cdot 1=-2<2}\)