Matematyka.pl

Proszę o pomoc

Dla jakich wartości parametru 'a' szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n^2+1}}\) jest zbieżny, bezwzględnie zbieżny i warunkowo zbieżny

Poprawa tematu.
max

Z warunku koniecznego zbieżności wynika, że szereg jest rozbieżny jeśli \(\displaystyle{ |a| > 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ a\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\)
Z kryterium porównawczego z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) wynika, że szereg jest zbieżny bezwzględnie jeśli \(\displaystyle{ |a| qslant 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ a [-1, 1]}\).

a mozesz rozwinac swoj tok myslenia???

rozpisac kryteria?

Nieszczególnie jest co rozpisywać:

Jeśli \(\displaystyle{ |a| > 1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{|a|^{n}}{n^{2} + 1} = +\infty 0}\)
więc nie może być:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{a^{n}}{n^{2} + 1} = 0}\),
bo wtedy musiało by być również:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left|\frac{a^{n}}{n^{2} + 1}\right| = \lim_{n\to }\frac{|a|^{n}}{n^{2} + 1} = 0}\)
co jest nieprawdą. Zatem warunek konieczny nie zachodzi.

A jeśli \(\displaystyle{ |a|\leqslant 1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n qslant 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ \left|\frac{a^{n}}{n^{2} + 1}\right| < \frac{1}{n^{2}}}\)
i powołując się na kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) wnioskujemy o zbieżności szeregu utworzonego z wartości bezwzględnych wyrazów badanego szeregu, czyli o jego zbieżności bezwzględnej.

ok. dzieki

spojrz tez na te zadania jak mozesz

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:R^2 R$ $ f(x,y)= x^2+2xy+y}\)
Znaleźć jej najmniejszą i największą wartość na zbiorze [-1,1]*[-1,1]

i

rozwiazac uklad rownan

/2x-z=0
x+y+z+3a=0

Załóż nowe tematy w odpowiednich działach, bo te zadania nie mają z szeregami i ciągami liczbowymi zbyt wiele wspólnego.