granica ciągu
- rochaj
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: komp
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 2 razy
granica ciągu
Oblicz \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{\sqrt[2]{2}+\sqrt[4]{4}+...+\sqrt[2n]{2n}}{1+\sqrt[3]{3}+...\sqrt[2n-1]{2n-1}} \right) ^n}\)
Ostatnio zmieniony 11 mar 2017, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: granica ciągu
To takie wyciąganie trupa z szafy no ale zobaczymy pewne rzeczy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n }\)
Ze względu na funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)
Tu wykres:
Jak widać dobrze się ona zachowuje czyli jest malejąca i zbieżna do jedynki tak od trójki a od czwórki już na bank...Bo od zera do trójki kuleje...
korzystając z tego, że dla:
\(\displaystyle{ x \ge 4 , f(x)<f(x-1)}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n
\le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1+1+3^{ \frac{1}{3} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \le }\)
\(\displaystyle{ \le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^n=\left[\left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right]^{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} } }\)
ale ten drugi wyższy wykładnik:
\(\displaystyle{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \rightarrow \frac{1}{(2n+1)^{ \frac{1}{2n+1} }} \rightarrow 1 }\)
A to co w kwadratowym nawiasie jak widać dąży do:
\(\displaystyle{ e^{ \sqrt{2}-1 }}\)
Teraz z drugiej strony i tu były schody, ale poszukałem takiej zależności (nie do końca sprawdzonej):
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \ge e^{ \sqrt{2} -1- \frac{1}{\ln(n)}} \rightarrow e^{ \sqrt{2}-1} }\)
Co sugeruje nam, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n=e^{ \sqrt{2}-1 }}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n }\)
Ze względu na funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)
Tu wykres:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3Dx%5E%281%2Fx%29
Jak widać dobrze się ona zachowuje czyli jest malejąca i zbieżna do jedynki tak od trójki a od czwórki już na bank...Bo od zera do trójki kuleje...
korzystając z tego, że dla:
\(\displaystyle{ x \ge 4 , f(x)<f(x-1)}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n
\le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1+1+3^{ \frac{1}{3} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \le }\)
\(\displaystyle{ \le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^n=\left[\left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right]^{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} } }\)
ale ten drugi wyższy wykładnik:
\(\displaystyle{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \rightarrow \frac{1}{(2n+1)^{ \frac{1}{2n+1} }} \rightarrow 1 }\)
A to co w kwadratowym nawiasie jak widać dąży do:
\(\displaystyle{ e^{ \sqrt{2}-1 }}\)
Teraz z drugiej strony i tu były schody, ale poszukałem takiej zależności (nie do końca sprawdzonej):
\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \ge e^{ \sqrt{2} -1- \frac{1}{\ln(n)}} \rightarrow e^{ \sqrt{2}-1} }\)
Co sugeruje nam, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n=e^{ \sqrt{2}-1 }}\)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: granica ciągu
mam wrażenie, że za grubo szacujesz z góry, zwróć uwagę, że podobną metodą możesz udowodnić, że wyraz ciągu szacuje się z góry przez coś zbieżnego do \(\exp\left(-1+2^{1/2}-3^{1/3}+4^{1/4}\right)\), a to jest mniej niż \(\exp(\sqrt 2-1)\)
na moje oko ten ciąg jest zbieżny do \(\exp\left(\sum_{n=1}^\infty \left((2n)^{1/(2n)} - (2n-1)^{1/(2n-1)}\right)\right)\)
na moje oko ten ciąg jest zbieżny do \(\exp\left(\sum_{n=1}^\infty \left((2n)^{1/(2n)} - (2n-1)^{1/(2n-1)}\right)\right)\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: granica ciągu
A dół to szacowanie z dołu też mi się jakoś intuicyjnie zgadza, choć jeszcze tego nie udowodniłem, choć mogę się mylić... Temat dość ciekawy...