Matematyka.pl

zbadaj monotonicznosc ciagów
a)\(\displaystyle{ c_n}\)= reszta z dzielenia n przez 5
b)\(\displaystyle{ u_n=\frac{n^2}{2-3n}}\)
c)\(\displaystyle{ v_n=(-1)^n*\frac{3-n}{n^2}}\)

Ad a:
Nie mam teraz pomysłu na jakiś bardzo ładny zapis, ale to jest ciąg okresowy o okresie równym 5.
Ad b:
Rozważ różnicę \(\displaystyle{ u_{n+1} - u_{n}}\). Po kilku przekształceniach dostaniesz, że \(\displaystyle{ u_{n+1} - u_{n}= \frac{ -3n^2 +n+2}{ -(3n+1)(2-3n) }}\). Oczywiście mianownik przyjmuje wartości większe od zera, interesuj nas więc znak licznika. Jednak dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ -3n^2 +n+2 q 0}\). Oznacza to, że ciąg \(\displaystyle{ u_{n}}\) jest ciągiem nierosnącym.
Ad c:
Tutaj również rozważ różnicę ciągu \(\displaystyle{ v_{n+1} - v_{n}}\). Otrzymasz, ze \(\displaystyle{ v_{n+1} - v_{n}= (-1)^{n+1} \frac{ - 2n^3 +3n^2 +5n+3}{ n^2 (n+1)^2 }}\). Dla \(\displaystyle{ n q 3}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ -2n^2 +3n^2 +5n+3 }\)