Matematyka.pl

Zbadać czy szereg jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \sum\frac{1}{3^{n}}}\)


Obliczyć promień zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum\frac{n^{2}}{n^{2}+1}}\)\(\displaystyle{ x^{n}}\)

Bardzo prosze o szkic rozwiązań krok po kroku bo jestem z tego zielony a podobno takie identyczne mają być jutro na poprawce ... z góry dzięki !

_____
"!!!" - ozdobnik?!
bolo

1) kryterium d'Alemberta szereg zbieżny
2)
twierdzenie d'Alemberta
\(\displaystyle{ g=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=1\\
R=\frac{1}{g}=1}\)

dziękuje, ale mam jeszcze prośbe, czy mógłbys mi to opisać w sposób dla "zielonych" ... ?? nie chodziło mi o samą odpowiedź z jakiego to kryterium i czy zbiezny czy tez rozbiezny tylko o totalny szkic rozwiązania bo nie wiem o co biega z tym d"Alembertem ... Bardzo prosze i jeszcze raz z góry dzięki

1)
Kryterium zbieżności d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{3^{n}}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}}\)

2)
twierdzenie d'Alemberta
\(\displaystyle{ g=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}+1}\cdot \frac{n^{2}+1}{n^{2}}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{n^{4}(1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}})}{n^{4}(1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}})}|=\lim\limits_{n\to\infty} |\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^{2}}}|=1\\
g=1\\
R=\frac{1}{g}=1}\)

a gdzie w drugim zadaniu podziało Ci się \(\displaystyle{ x^{n}}\) ????

digital87 pisze:a gdzie w drugim zadaniu podziało Ci się \(\displaystyle{ x^{n}}\) ????

\(\displaystyle{ x^{n}}\) nie bierze się pod uwagę

Ehh to już wiem dlaczego ulałem egzamin policzyłem x^n z kryterium Lamberta i pomnożyłem Dzięki wielkie