Czy można w taki sposób liczyć granicę ?

[matinf]

Cześć,

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{4^n} \right)^{2^n}}\)
\(\displaystyle{ k=2^n}\).
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{4^n} \right)^{2^n}}\)

\(\displaystyle{ \left(\left( 1+\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}\right)^{\frac{1}{k^2}}}\)

I teraz czy prawidłowe jest takie podejście:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k^2}\to 0}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}\to e}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \left(\left( 1+\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}\right)^{\frac{1}{k^2}}\to e^0 = 1}\)

[Igor V]

A nie przypadkiem : \(\displaystyle{ \left(\left( 1+\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}\right)^{\frac{1}{k}}}\) ?

[matinf]

A nie przypadkiem : \(\displaystyle{ \left(\left( 1+\frac{1}{k^2} \right)^{k^2}\right)^{\frac{1}{k}}}\) ?

Tak, oczywiście o to chodzło.

To jest w porządku ?

[Igor V]

Jak dla mnie jest ok.

[Premislav]

Tak, jest jak najbardziej w porządku.

Inne podejście do zadania może się opierać na twierdzeniu o trzech ciągach:
oczywiście dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego mamy
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{4^n} \right)^{2^n} >1^{2^n}=1}\)
Z drugiej strony na mocy nierówności Bernoulliego mamy
\(\displaystyle{ \left[\left( \frac{4^n+1}{4^n} \right)^{4^n}\right]^{1/2^n}=\left[ 1+{\blue\left( \frac{4^n+1}{4^n} \right)^{4^n}-1}\right]^{1/2^n} \le 1+ \frac{{\blue\left( \frac{4^n+1}{4^n} \right)^{4^n}-1}}{2^n}}\)
To, co zaznaczyłem na niebiesko, zbiega oczywiście do \(\displaystyle{ e-1}\), zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{\left( \frac{4^n+1}{4^n} \right)^{4^n}-1}{2^n}=0}\)
oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }1+\frac{\left( \frac{4^n+1}{4^n} \right)^{4^n}-1}{2^n}=1}\).-- 16 wrz 2016, o 20:54 --Przepraszam, trochę się nudziłem.