Strona 1 z 1
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:19
autor: Mr Max
Mam takie zadanko, proszę o pomoc jak to wyliczyć dokładnie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n^+^1}}\)
Bardzo proszę o pomoc, z góry dzięki
Temat poprawiłam, radzę czytać ogłoszenia.
ariadna
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:25
autor: scyth
zdecyduj się w końcu jaki to szereg, bo nie będe co chwilę posta zmieniał :mad:
dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\):
\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+2}} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n+1}} = \frac{x-2}{3}}\)
szereg zbieżny dla \(\displaystyle{ x < 5}\), rozbieżny dla \(\displaystyle{ x > 5}\). Gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) to mamy szereg jedynek, więc rozbieżny.
Dla szeregu o mianowniku \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\):
\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}+1} : \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}+1} = \frac{(x-2)(3^n+1)}{3^{n+1}+1} = \frac{\frac{1}{3}(x-2)(3^{n+1}+1)+\frac{2}{3}(x-2)}{3^{n+1}+1}=\frac{x-2}{3}+\frac{2(x-2)}{3(3^{n+1}+1)} \frac{x-2}{3}}\)
Zatem gdy \(\displaystyle{ x < 5}\) szereg zbieżny, gdy \(\displaystyle{ x > 5}\) szereg rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ x = 5}\) trzeba sprawdzić - wtedy wyraz szeregu ma postać \(\displaystyle{ a_n=\frac{3^n}{3^n+1}=1-\frac{1}{3^n+1}}\) - czyli szereg zbieżny.
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:41
autor: Mr Max
ok, sory
, ale dzięki za pomoc, jeszcze tylko pytanie czy na pewno dla x>5 jest rozbieżny a nie zbieżny?
nie powinno wyjść dla x
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:44
autor: scyth
gdy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1}\) to szereg rozbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1}\) zbieżny, \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1}\) nie wiadomo.
oczywiście mówimy dla \(\displaystyle{ n }\)
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:44
autor: Mr Max
a jeszcze taki przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3n^2}}\)
nie bardzo wiem jak sie z tym mianownikiem uporać ;>
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 12:54
autor: scyth
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x-1)^{n+1}}{3(n+1)^2}:\frac{(x-1)^n}{3n^2}= \frac{n^2(x-1)}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2(x-1)-(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} = (x-1)-\frac{(2n+1)(x-1)}{(n+1)^2} x-1}\)
Dalej powinieneś sobie poradzić.
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 21 sie 2007, o 13:12
autor: Mr Max
ok dzięki
Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
: 24 sie 2007, o 19:18
autor: max
Wypadałoby zauważyć, że nigdzie nie zakładamy, że nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, zatem jeśli korzystamy z kryterium d'Alemberta to rozpatrujemy ciąg wartości bezwzględnych wyrazów szeregu, więc chociażby w pierwszym przykładzie przedziałem zbieżności będzie przedział \(\displaystyle{ (-1, 5)}\).