Ciąg- wykaz, ze:

[bullay]

\(\displaystyle{ a_1=1}\) \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a_{n+1}^2 -2= (\frac{a_n}{2}-\frac{1}{a_n})^2}\)

[bullay]

zrobilem zadanie bez twojej podpowiedzi mol_ksiazkowy o tak:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(\frac{\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}}{2})>2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ b_n=a_n-\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}=a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}-\sqrt{2}=\frac{1}{b_n+\sqrt{2}}+\frac{b_n+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{(b_n)^2}{2(b_n+\sqrt{2}}=\frac{(b_n)^2}{2a_n}}\)