Witam posiadam dość ciekawy przykład granicy ciągu do policzenia, bardzo proszę o wskazówki, jak się za to zabrać
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{3n+2}}\)
generalnie próbowałam to jakoś przekształcać, ale nie wiem jak sobie poradzić z takim dziwnym stopniem pierwiastka, z góry dzięki za pomoc
granica ciągu z pierwistkiem i potęgą
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
granica ciągu z pierwistkiem i potęgą
Wsk. Gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności, to \(\displaystyle{ 2n+1}\) tez.
znasz granice \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n] {n}}\)?
znasz granice \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n] {n}}\)?
- Devilisha
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
granica ciągu z pierwistkiem i potęgą
To wiem, ale czy to wystarcza tu, stopień pierwiastka i to co jest pod pierwiastkiem to nie jest to samo ;pyzol pisze:Generalnie to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
granica ciągu z pierwistkiem i potęgą
No to trzeba by jakoś wykorzystać to, co już wiesz, np. stosując twierdzenie o trzech ciągach, chociażby tak:
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[2n+1]{3n+2}< \sqrt[2n+1]{4n+2}= \sqrt[2n+1]{2} \cdot \sqrt[2n+1]{2n+1}}\)
I teraz jeżeli wiesz, że dla dowolnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a}=1}\), a także \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\), to granice podciągów są takie same, więc ten iloczyn po prawej dąży do \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[2n+1]{3n+2}< \sqrt[2n+1]{4n+2}= \sqrt[2n+1]{2} \cdot \sqrt[2n+1]{2n+1}}\)
I teraz jeżeli wiesz, że dla dowolnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a}=1}\), a także \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\), to granice podciągów są takie same, więc ten iloczyn po prawej dąży do \(\displaystyle{ 1}\).