Sprawdź, który wyraz ciągu jest mniejszy...

[urchin]

Każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ (X_{n})^ \infty _{n=0}}\)
za wyjątkiem
\(\displaystyle{ X_{0}}\)
jest sumą wyrazu poprzedzającego go i wyrazu następującego po nim. Wiemy ponadto, że
\(\displaystyle{ X_{1}=-1}\)
oraz
\(\displaystyle{ X_{14}=1}\)
Sprawdzić, który z wyrazów
\(\displaystyle{ X_{300}}\) i \(\displaystyle{ X_{400}}\) jest mniejszy.

[a4karo]

Sprawdź, że ten ciąg jest arytmetyczny

[Dasio11]

Nie jest arytmetyczny. Ale dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = (a_n + a_{n+2}) + (a_{n+1} + a_{n+3}) = a_{n+1} + a_{n+2},}\)

zatem \(\displaystyle{ a_{n+3} = -a_n.}\) Teraz trzeba myśleć dalej.

[a4karo]

OJ, sorry.

[urchin]

Nadal nie rozumiem tego zadania.

[Kartezjusz]

Czego dokładnie?

[urchin]

Np. Skąd \(\displaystyle{ a_{n+3}=-a_{n}}\)?

[Dasio11]

No bo w równości

\(\displaystyle{ a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = a_{n+1} + a_{n+2}}\)

można obustronnie skrócić składnik \(\displaystyle{ a_{n+1} + a_{n+2}}\) a potem przenieść \(\displaystyle{ a_n}\) na drugą stronę.