Nie wiem, jak zacząć. Proszę o pomoc.
Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Co trzeba założyć o \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}}\), aby ten ciąg był rosnący?
Warunek na określony rodzaj monotoniczności
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Warunek na określony rodzaj monotoniczności
Ciąg jest rosnący, jeśli dla wszystkich naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ a_{n+1} > a_n}\). Numerowanie nie ma aż tak dużego znaczenia, więc można to zapisać jako \(\displaystyle{ a_{n+2} > a_{n+1}}\) i dopilnować, by nie objęte tym warunkiem \(\displaystyle{ a_2}\) było większe od \(\displaystyle{ a_1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 15 paź 2015, o 00:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Warunek na określony rodzaj monotoniczności
Tzn., że zapisanie \(\displaystyle{ a_{2} \ge a_{1}}\) wystarczy jako rozwiązanie zadania?
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Warunek na określony rodzaj monotoniczności
Teraz podstawiasz do tej przekształconej nierówności wzór rekurencyjny ciągu, otrzymując:
\(\displaystyle{ a_{n+1} + a_n > a_{n_+1} \Leftrightarrow a_n > 0}\)
Czyli oprócz poprzedniego warunku (\(\displaystyle{ a_2 > a_1}\)) chcesz też, żeby wszystkie wyrazy były dodatnie. Ostatecznie potrzeba i wystarczy więc, by \(\displaystyle{ 0 < a_1 < a_2}\).
\(\displaystyle{ a_{n+1} + a_n > a_{n_+1} \Leftrightarrow a_n > 0}\)
Czyli oprócz poprzedniego warunku (\(\displaystyle{ a_2 > a_1}\)) chcesz też, żeby wszystkie wyrazy były dodatnie. Ostatecznie potrzeba i wystarczy więc, by \(\displaystyle{ 0 < a_1 < a_2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Warunek na określony rodzaj monotoniczności
Jakie to ma znaczenie? W zadaniu była mowa o warunku koniecznym, a nie dostatecznym.kerajs pisze:To zobaczmy:
\(\displaystyle{ a_{1}=-2 \\ a_{2}=-1 \\ a_3=-3 \ \ ? \\a_4=-4 \ \ ?}\)