Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
marek567
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 paź 2015, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: marek567 »

Nie wiem, jak zacząć. Proszę o pomoc.

Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\). Co trzeba założyć o \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}}\), aby ten ciąg był rosnący?
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: Althorion »

Ciąg jest rosnący, jeśli dla wszystkich naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ a_{n+1} > a_n}\). Numerowanie nie ma aż tak dużego znaczenia, więc można to zapisać jako \(\displaystyle{ a_{n+2} > a_{n+1}}\) i dopilnować, by nie objęte tym warunkiem \(\displaystyle{ a_2}\) było większe od \(\displaystyle{ a_1}\).
marek567
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 paź 2015, o 00:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: marek567 »

Tzn., że zapisanie \(\displaystyle{ a_{2} \ge a_{1}}\) wystarczy jako rozwiązanie zadania?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: kerajs »

To zobaczmy:
\(\displaystyle{ a_{1}=-2 \\ a_{2}=-1 \\ a_3=-3 \ \ ? \\a_4=-4 \ \ ?}\)
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: Althorion »

Teraz podstawiasz do tej przekształconej nierówności wzór rekurencyjny ciągu, otrzymując:
\(\displaystyle{ a_{n+1} + a_n > a_{n_+1} \Leftrightarrow a_n > 0}\)

Czyli oprócz poprzedniego warunku (\(\displaystyle{ a_2 > a_1}\)) chcesz też, żeby wszystkie wyrazy były dodatnie. Ostatecznie potrzeba i wystarczy więc, by \(\displaystyle{ 0 < a_1 < a_2}\).
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Warunek na określony rodzaj monotoniczności

Post autor: norwimaj »

kerajs pisze:To zobaczmy:
\(\displaystyle{ a_{1}=-2 \\ a_{2}=-1 \\ a_3=-3 \ \ ? \\a_4=-4 \ \ ?}\)
Jakie to ma znaczenie? W zadaniu była mowa o warunku koniecznym, a nie dostatecznym.
ODPOWIEDZ