Granica ciągu dwóch zmiennych

VillagerMTV · Post autor: **VillagerMTV** » 18 lut 2015, o 15:20

Witam!
Mam obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2+y^3-x^3}{1- \sqrt{x^2+y^2+1} }}\)
Wiem, że wynik to \(\displaystyle{ 2}\). Ale nie widzę jak do tego dotrzeć. Na początku myślałem, żeby pozbyć się tych iksów i igreków z mianownika (zrobić mnożenie przez ułamek) i skorzystać z tw. o ciągu zbieżnym do \(\displaystyle{ 0}\) i ograniczonym. Ale te ułamki nie będą ograniczone.

Rzuci ktoś podpowiedzią?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 18 lut 2015, o 15:42

Coś w tej funkcji popsułeś, bo dla \(\displaystyle{ x=y}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f(x,x) = \frac{x^2}{1-\sqrt{2x^2+1}} = \frac{x^2(1+\sqrt{2x^2+1})}{-2x^2} \rightarrow -1}\)

VillagerMTV · Post autor: **VillagerMTV** » 18 lut 2015, o 16:28

A tam od razu popsułem. Trochę tylko źle przepisałem:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2+\red{y^2} {-x^3}}{1- \sqrt{x^2+y^2+1} }}\)
W liczniku potęga \(\displaystyle{ y}\) się zmieniła.

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 18 lut 2015, o 16:28

Policz granice iterowane.

VillagerMTV · Post autor: **VillagerMTV** » 18 lut 2015, o 16:32

Ale co mi dadzą granice iterowane? Bo jak wklepałem to w wolphrama to wykazywało mi, że granica to \(\displaystyle{ 2}\). A tutaj granice iterowane nie mogą pomóc.

Chyba, że znowu coś źle wpisałem

Edit:Zmieniona jest potęga igreka.

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 18 lut 2015, o 16:37

To przejdź na współrzędne biegunowe i licz z de l'Hospitala.