Podaj granice ciagu

[leg14]

Jak w temacie.Bardzo prosze o pomoc.

\(\displaystyle{ n \to + \infty}\)
\(\displaystyle{ w \subset \left( 0,1\right)}\)



\(\displaystyle{ a _{n}= n^w( \sqrt[n]{n} - 1)}\)

[Premislav]

Kozockie zadania na tym UW/PW, ja takich chyba nie miałem, ew. bardzo rzadko.
Skorzystamy ze znanej granicy specjalnej: \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e ^{t}-1 }{t}=1}\).
Albowiem możemy zapisać \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1}\) jako \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{n}\ln n }-1}\) i ze wspomnianej granicy mamy, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1}\)zachowuje się dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) bardzo podobnie do \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}}\) (oczywiście można to zapisać bardziej formalnie,rozpisać na odpowiedni iloczyn, itd. ale to już dla Ciebie). Tymczasem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n ^{w} \frac{\ln n}{n}=}\)...

[leg14]

Dziekuje za pomoc, ale do tego momentu dalem rade sam dojsc.Problem lezy niestety w policzeniu granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n ^{w} \frac{\ln n}{n}}\)

[Premislav]

Przypomnij sobie, że zgodnie z założeniami \(\displaystyle{ 0<w<1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{n ^{w} }{n}=n ^{w-1}}\). Miałeś na wykładzie granice typu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n ^{b} }}\), gdzie \(\displaystyle{ b>0}\)?

[leg14]

Juz dalem rade.Dzieki