Jak w temacie.Bardzo prosze o pomoc.
\(\displaystyle{ n \to + \infty}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= n\ln(n^2 +1) -2n\ln(n) \sqrt[n]{\ln(n)}}\)
Wyznacz granice ciagu
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wyznacz granice ciagu
Wskazówka:
\(\displaystyle{ a_n=\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right]}\)
\(\displaystyle{ a_n=\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right]}\)
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Wyznacz granice ciagu
\(\displaystyle{ a_n=\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] =\ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n}\right)\cdot \frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] = \\[2ex]
= \ln \left[ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n}\right)\right] + \ln\left[\frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] = \\[2ex]
= \ln\left(n^2+1\right)^n -\ln\left(n^2\right)^n - \ln\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right] = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\ln\left(\left[\left(n^2\right)^n\right]\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right]\right) = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\left(2n +\sqrt[n]{\ln n}\right)\ln(n)}\)
A nie powinno byc tak?
= \ln \left[ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n}\right)\right] + \ln\left[\frac{1}{n^{\sqrt[n]{\ln n}}}\right] = \\[2ex]
= \ln\left(n^2+1\right)^n -\ln\left(n^2\right)^n - \ln\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right] = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\ln\left(\left[\left(n^2\right)^n\right]\left[n^{\sqrt[n]{\ln n}}\right]\right) = \\[2ex]
= n\ln\left(n^2+1\right) -\left(2n +\sqrt[n]{\ln n}\right)\ln(n)}\)
A nie powinno byc tak?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2014, o 21:00 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wyznacz granice ciagu
Popieram!
Powinno być tak:
\(\displaystyle{ a_n = \ln \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} \right)^n.}\)
Proponuję udowodnić i powołać się na fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1}\) oraz istnieje granica
\(\displaystyle{ \ell = \lim_{n \to \infty} \left( x_n - 1 \right) \cdot y_n,}\)
to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( x_n \right)^{y_n} = e^{\ell},}\)
a zatem w naszym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} - 1 \right).}\)
Powinno być tak:
\(\displaystyle{ a_n = \ln \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} \right)^n.}\)
Proponuję udowodnić i powołać się na fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1}\) oraz istnieje granica
\(\displaystyle{ \ell = \lim_{n \to \infty} \left( x_n - 1 \right) \cdot y_n,}\)
to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( x_n \right)^{y_n} = e^{\ell},}\)
a zatem w naszym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \frac{n^2+1}{n^{2 \sqrt[n]{ \ln n}}} - 1 \right).}\)
-
porfirion
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 26 razy
Wyznacz granice ciagu
Poprawcie mnie jeśli się mylę, ale czy to w jakichś krótkich przekształceniach nie wychodzi z tego, co leg14 udowodnił chwilę temu : 374320.htm. Bo dostaniemy \(\displaystyle{ \ln \left[ \left(\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n}\right] +2(\ln n )\cdot a_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{n}}\) to ciąg z linka.