Policzyc granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n(1- \sqrt[n]{\ln n})}\)
Doszłam do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n(1- \sqrt[n]{\ln n})
=\lim_{n \to \infty } (n- n\sqrt[n]{\ln n})
= \lim_{n \to \infty } (n- \sqrt[n]{n^n \ln n})}\) i nie wiem co dalej.
Granica ciągu z logarytmem naturalnym
Granica ciągu z logarytmem naturalnym
Ostatnio zmieniony 12 lis 2014, o 18:30 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: \ln - logarytm naturalny.
Powód: \ln - logarytm naturalny.
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Granica ciągu z logarytmem naturalnym
Potrzebujesz tutaj wlasnosci funkcji wykladniczej i logarytmicznej, twierdzenie Stolza tez sie przyda:
\(\displaystyle{ n(1 - \sqrt[n]{\ln(n)} )= -n(\sqrt[n]{\ln(n)} -1)=-n(exp((1/n)\ln(n)) - 1)(\ln(n)/n)(n/\ln(n))}\)
z tw. Stolza lub szacowania
\(\displaystyle{ \ln(n)/n \rightarrow 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ (exp((1/n)\ln(n)) - 1)(n/\ln(n)) \rightarrow 1}\)
to jest jedna z wlasnosci funkcji wykladniczej, zatem
\(\displaystyle{ a _{n} \rightarrow 1*(-n)(\ln(n)/n) = - \infty}\)
\(\displaystyle{ n(1 - \sqrt[n]{\ln(n)} )= -n(\sqrt[n]{\ln(n)} -1)=-n(exp((1/n)\ln(n)) - 1)(\ln(n)/n)(n/\ln(n))}\)
z tw. Stolza lub szacowania
\(\displaystyle{ \ln(n)/n \rightarrow 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ (exp((1/n)\ln(n)) - 1)(n/\ln(n)) \rightarrow 1}\)
to jest jedna z wlasnosci funkcji wykladniczej, zatem
\(\displaystyle{ a _{n} \rightarrow 1*(-n)(\ln(n)/n) = - \infty}\)