Szereg geometryczny i założenia

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
MrLan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 16 paź 2014, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Szereg geometryczny i założenia

Post autor: MrLan »

Witam, mamy zadanie o treści:
"Wyznacz dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x + \frac{x}{1-x} + \frac{x}{(1-x)^{2}}+ ...}\), a następnie:
a) narysuj wykres funkcji f
b) podaj zbiór wartości funkcji f
c) ustal, czy funkcja jest monotoniczna."
Oczywiście pierwszym założeniem będzie \(\displaystyle{ x \neq 1}\).
Dalej ponieważ chcę wyliczyć iloraz ciągu geometrycznego (pomijam cz. odnośnie sprawdzania czy jest to ciąg geometryczny).
\(\displaystyle{ q=\frac{ \frac{x}{1-x}}{x}}\)
I tu pojawia się pytanie(a):
1)czy zrobiłem to poprawnie skoro dzielę przez x, które może być 0(może w ogóle nie powinienem dzielić?), może powinienem nałożyć nowe założenie, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\)?
2)czy może powinienem rozpatrzyć to dla dwóch przypadków:
a)\(\displaystyle{ x = 0}\),
b)\(\displaystyle{ x \neq 0 i x \neq 1}\)
Załóżmy, że nie nakładałem żadnego założenia i normalnie obliczyłem iloraz( \(\displaystyle{ q= \frac{1}{1-x}}\))
wybieram takie q dla którego suma ta będzie szeregiem geometrycznym ( \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\))
Ostatecznie wychodzi, że \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,0) \cup (2,+ \infty )}\)
Jednak prawda jest taka, że dla x =0 funkcja f(x) ma także swoja wartość (f(0)=0), a liczenie dla jakich argumentów wartość bezwzględna z ilorazu jest mniejsza od 1 było, jak mi się zdaje, tylko jedną z możliwości, a mianowicie wyznaczeniem rozw. zadania korzystając z tego, że funkcja jest szeregiem geometrycznym.
W odpowiedziach jest odpowiedź bez 0 (taka jak mi wyszła z powyższego sposobu liczenia).
Tak więc, jak to się powinno poprawnie zrobić, tak by nie pominąć żadnego przypadku i dać wszystkie potrzebne założenia?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Szereg geometryczny i założenia

Post autor: a4karo »

Żeby policzyć iloraz szeregu, z pewnością musisz założyć, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Stąd wynika atychmiast, że przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) musisz rozważyć oddzielnie. Ze wzgledu na postac funkcji przypadek \(\displaystyle{ x=1}\) musisz po prostu wykluczyć z rozważań, bo ten punkt nie należy do dziedziny funkcji.

Skoro w rozwiązaniu nie ma zera, to znaczy że jest ono niepoprawne.
Awatar użytkownika
MrLan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 16 paź 2014, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Szereg geometryczny i założenia

Post autor: MrLan »

Wydaje mi się jakoby twórcy zadania nie rozważyli możliwości, że x=0 i nie widzę podstaw do tego, by x=0 miało się nie znaleźć w dziedzinie. Wynika to choćby z wyłączenia przed nawias x we wzorze funkcji f(x). Czy może się mylę?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Szereg geometryczny i założenia

Post autor: a4karo »

Nie mylisz się. Tak jak powiedziałęm: przy \(\displaystyle{ x=0}\) Twoje rozumowanie nie jest poprawne i dlatego ten przypadek należy rozważyc osobno. Autorzy zadania chyba o tym zapomnieli.
sdd1975
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radomsko
Pomógł: 5 razy

Re: Szereg geometryczny i założenia

Post autor: sdd1975 »

\(\displaystyle{ x =0 }\) w sposób oczywisty należy do dziedziny funkcji

\(\displaystyle{ f \left(0 \right) = 0 }\)

więc bez zera błędne rozwiązanie
ODPOWIEDZ