Twierdzenie (ciągi)

[gabrysb1995]

Wymyśliłem ostatnio takie twierdzenie:

Niech \(\displaystyle{ (a_{n})}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych i \(\displaystyle{ (b_{n})}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych rozbieżnym do \(\displaystyle{ +\infty}\). Jeśli istnieje granica ciągu \(\displaystyle{ \left| (a_{n})^{ \frac{1}{(b_{n})}}\right| =g}\) i \(\displaystyle{ g <1}\) to \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow 0}\)

Dowód:

Korzystamy z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ (b_{n}) \rightarrow + \infty}\) i to \(\displaystyle{ ( \frac{1}{b_{n}}) \rightarrow 0}\) (do udowodnienia jako lemat)

Dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) (takiego, że \(\displaystyle{ g+\epsilon <1}\)) istnieje \(\displaystyle{ N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\)zachodzi:

\(\displaystyle{ \left| a_{n}\right| < (g+\epsilon)^{b_{n}}\)

Z racji tego, że \(\displaystyle{ (g+\epsilon)<1}\) i \(\displaystyle{ b_{n} \rightarrow + \infty}\) mamy \(\displaystyle{ (g+\epsilon)^{b_{n}} \rightarrow 0}\) czyli \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow 0}\)

Analogicznie, jeśli \(\displaystyle{ \left| (a_{n})^{ \frac{1}{(b_{n})}}\right| = g >1}\) to \(\displaystyle{ \left| a_{n} \right| \rightarrow + \infty}\)

Mógłby ktoś sprawdzić ten dowód i napisać jakieś uwagi do niego (np. czy są jakieś luki, albo czy można je jeszcze jakoś uogólnić)

[Piotr Rutkowski]

Ideowo jest w porządku. Jeśli chcesz być bardzo dokładny dodaj jeszcze, że wybierasz na tyle duże \(\displaystyle{ N}\) żeby wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_{n}}\) były dodatnie, co uprawnia późniejsze przejście.

[gabrysb1995]

Dziękuję za sprawdzenie, dowodziłem dla siebie tylko, bo to paru granic mi się jeden przypadek przydał i pomyślałem, że można to uogólnić i chciałem sprawdzić czy ten pomysł był słuszny:)-- 15 wrz 2014, o 17:08 --Chyba trzeba założyć, że \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych, bo nie zawsze istnieje w rzeczywistych potęga wymierna liczby ujemnej.