Obliczyć granicę ciągu

[matinf]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) ^{n^2 }}\)

Granica ma być w nieskończoności.

[virtue]

\(\displaystyle{ e}\) do potegi \(\displaystyle{ -n}\) do czego zbiega?

[matinf]

do zera, to wiem. Ale skąd to bierzesz ?

[virtue]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n^2}=\lim_{n \to \infty } e^{(-1)\cdot\frac{n^{2}}{n}}}\)

[Dasio11]

Pięknie, ale to przejście jest nieuzasadnione. I fakt, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{-1}{n} \right)^n = e^{-1},}\)

nie wystarczy za uzasadnienie.

[virtue]

Skoro: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n}=e^{-1}}\)
to:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n^2}=\lim_{n \to \infty } \left( \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty } \left( e^{-1} \right) ^{n}}\)

[Premislav]

OK, to ja zastosuję podobne rozumowanie i napisz mi, proszę, czym się ono różni od Twojego (bo możliwe, że po prostu nie widzę):
skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 1+ \frac{1}{n}=1, to \lim_{n \to \infty }\left(1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty}1 ^{n}=1}\)
Coś się nie zgadza...

[virtue]

Bo \(\displaystyle{ [1^{ \infty }]}\) to symbol nieoznaczony

[Jan Kraszewski]

Skoro: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n}=e^{-1}}\)
to:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n^2}=\red{\lim_{n \to \infty } \left( \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty } \left( e^{-1} \right) ^{n}}}\)

A możesz przytoczyć twierdzenie, z którego korzystasz wykonując to przejście?

JK

[virtue]

Czyli wychodzi na to że takie przejscie jest niepoprawne?

[Mathix]

Może tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{n^2}=\lim_{n \to \infty } \left [\left( 1+\frac{-1}{n} \right) ^{-n}\right ]^{-n}=\\=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\underbrace{\left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}}_{n}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left [\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \right]^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^n}=0}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\underbrace{\left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n}}_{n}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left [\lim_{n \to \infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \right]^n}}\)

A na jaki fakt powołujesz się w tym przejściu?

[virtue]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n-1}{n} \right) ^{n^2}=\lim_{n \to \infty } \left( \frac{(n-1)^{n^2}}{n^{n^2}} \right) =\lim_{n \to \infty } e^{n^2\ln (n-1)-n^2 \ln (n)}=\lim_{n \to \infty } e^{n^2\ln \frac{n-1}{n}}}\)

No i zostaje chyba hospital
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n^2\ln \frac{n-1}{n}}\)

[klaustrofob]

a po co? use the force, Luke! uzupełnij wypowiedź: ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left (1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}}\), więc prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\) są .........

[Jan Kraszewski]

No i zostaje chyba hospital
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n^2\ln \frac{n-1}{n}}\)

Zawsze wydawało mi się, że do szpitala (ang. hospital) wysyła się funkcje zmiennej rzeczywistej, a nie ciągi...

JK