Wzór rekurencyjny - wzór ogólny

[Dawidk01]

Czy każdy ciąg opisany wzorem rekurencyjnym można sprowadzić do postaci ogólnej?

[bartek118]

Co rozumiesz poprzez postać ogólną?

[Dawidk01]

Tak klasycznie, jak w różnych zadaniach, gdzie na przykład musimy wyprowadzić wzór ogólny ciągu ze wzoru rekurencyjnego (na przykład dla Ciągu Fibonacchiego).

[bartek118]

W takim razie, odpowiedź brzmi nie.

[Dawidk01]

A mógłbyś jakoś rozwinąć temat?

[bartek118]

Prosty przykład:
\(\displaystyle{ a_{1} = 2 \\
a_{n} = a_{n-1}^2 + 12}\)

[Dawidk01]

A z czego to wynika? Jakieś głębsze przemyślenia, czy raczej poradziłbyś, żebym sam do tego doszedł? ;p

[Asakura]

Można np. zawsze znaleźć wzór jawny ciągów postaci \(\displaystyle{ a_{n+2}=A a_{n+1}+B a_{n}}\). Ogólnie możesz sobie poczytać o rozwiązywaniu rekurencji liniowych. Też funkcje tworzące od tego są, ale na nich się akurat nie znam

[Dawidk01]

Chyba na algebrze liniowej coś z macierzami robiliśmy, żeby wyznaczyć zwykły wzór, ale jakoś średnio to pamiętam. No dobra, w każdym razie dziękuje za odpowiedź.

[Zahion]

Prosty przykład:
\(\displaystyle{ a_{1} = 2 \\
a_{n} = a_{n-1}^2 + 12}\)

A jak dowieść, że nie da się przedstawić tego ciągu ogólnej ?

[bartek118]

A to już pewnie jakaś wyższa szkoła jazdy, nie mam pojęcia jak.

[Zahion]

A skąd ten przykład ? tj. czy działa to dla każdej postaci, gdzie mamy w kwadracie jakiś z wyrazów ciągu albo ogólniej ciąg określony typu \(\displaystyle{ a _{n}=a ^{k} _{n-1} + A, a _{1}=p}\).

[Dario1]

Prosty przykład:
\(\displaystyle{ a_{1} = 2 \\
a_{n} = a_{n-1}^2 + 12}\)

A jakby tak walnąć:
\(\displaystyle{ a_{n} =\underbrace{\left(\left(\left(\left(\left( 1+1\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) }_{n}...}\)
To byłaby to postać jawna czy to już nadużycie? W sumie jak zdefiniować postać jawną?

[bartek118]

Prosty przykład:
\(\displaystyle{ a_{1} = 2 \\
a_{n} = a_{n-1}^2 + 12}\)

A jakby tak walnąć:
\(\displaystyle{ a_{n} =\underbrace{\left(\left(\left(\left(\left( 1+1\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) ^{2}+12\right) }_{n}...}\)
To byłaby to postać jawna czy to już nadużycie? W sumie jak zdefiniować postać jawną?

Nadużycie. Postać jawna (przynajmniej dla mnie), jest to postać w której występuje skończona liczba podstawowych operacji arytmetycznych i funkcji elementarnych.