Zbadać zbieżność szeregu

[ostas12345]

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem

Zbadać zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}}}\)

Szereg jest rozbieżny bezwzględnie z kryterium porównawczego, dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2 \quad \frac{1}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n}+1}}\)

Natomiast ciężko jest sprawdzić, np. z kryterium Dirichleta, czy szereg jest zbieżny(rozbieżny) warunkowo. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}}\) jest ograniczony oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}} = 0}\), ale ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}}}\) nie jest monotoniczny (składa się z dwóch podciągów malejących).
Gdyby ktoś mógł podać jakąś wskazówkę jak rozwiązać to zadanie to byłbym wdzięczny.

[Dasio11]

Naturalną drogą jest rozbicie szeregu na dwie podsumy, z których każda spełnia założenia kryterium Leibniza.

Oznacz

\(\displaystyle{ a_n = \frac{ (-1)^n }{\sqrt[3]{n} + (-1)^{n(n+1)/2}} \\ \\
S_m = \sum_{n=2}^m a_n \\ \\
A_m = \sum_{n=1}^m \left[ a_{4n-1} + a_{4n} \right] = \left[ \frac{-1}{\sqrt[3]{3}+ 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}+1} \right] + \left[ \frac{-1}{\sqrt[3]{7}+ 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{8}+1} \right] + \ldots \\ \\
B_m = a_2 + \sum_{n=2}^m \left[ a_{4n-3} + a_{4n-2} \right] = \left[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} \right] + \left[ \frac{-1}{\sqrt[3]{5}- 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{6}-1} \right] + \ldots.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ S_{4m} = A_m + B_m.}\)

Ponadto \(\displaystyle{ A_m}\) jest podciągiem ciągu sum częściowych szeregu

\(\displaystyle{ \frac{-1}{\sqrt[3]{3}+ 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}+1} + \frac{-1}{\sqrt[3]{7}+ 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{8}+1} + \ldots,}\)

który jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza, a \(\displaystyle{ B_m}\) jest podciągiem ciągu sum częściowych szeregu

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} + \frac{-1}{\sqrt[3]{5}- 1} + \frac{1}{\sqrt[3]{6}-1} + \frac{-1}{\sqrt[3]{9}-1} + \ldots,}\)

który również zbiega na mocy kryterium Leibniza. To oznacza, że ciągi \(\displaystyle{ A_m}\) i \(\displaystyle{ B_m}\) są zbieżne, a więc \(\displaystyle{ S_{4m}}\) też.
Pozostaje zauważyć, że

\(\displaystyle{ \left| S_{4m} - S_{4m+1} \right| \to 0 \\
\left| S_{4m} - S_{4m+2} \right| \to 0 \\
\left| S_{4m} - S_{4m+3} \right| \to 0,}\)

a więc ciąg \(\displaystyle{ S_m}\) jest zbieżny, czyli zbieżny jest szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_n.}\)

[Matiks21]

konieczne jest grupować wyrazy w taki sposób jak powstała suma skonczona A_{n} ? nie można rozpatrywać tej sumy nie grupując wyrazów? wtedy od razu dostaniemy teze.

[Dasio11]

Faktycznie lepiej myśleć, że \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\) są ciągami sum częściowych niepogrupowanych szeregów. Ale nie miałem pomysłu, jak to zgrabnie zapisać.

[Matiks21]

w "sumie" to miałeś racje... dowodząc że szereg wybranych wyrazów jest zbieżny można rozważyć niepogrupowane wyrazy, ale dodając szeregi trzeba pogrupowac wyrazy i dodawac do siebie bloki w przeciwnym wypadku otrzyma się szereg o wyrazach w innej kolejności. Wybacz za zamieszanie