Witam. Proszę o pomoc w poniższych przykładach.
1. Dany jest zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\). Czy wynika stąd, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}}\) jest:
a) zbieżny
b) bezwzględnie zbieżny?
Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład.
2. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n>0}\) jest zbieżny. Czy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n a_n}\)? Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład.
Rozstrzygnąć zbieżność szeregów
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Rozstrzygnąć zbieżność szeregów
1. Kryterium Dirichleta daje zbieżność. Natomiast oczywiście nie zawsze jest to zbieżność bezwględna, np. \(\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}\)
2.
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{2n}=\frac{1}{2^n}}\)
2.
\(\displaystyle{ a_{2n+1}=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{2n}=\frac{1}{2^n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 12 paź 2013, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozstrzygnąć zbieżność szeregów
A czy da się rozwiązać zadanie 2 w taki sposób?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n = -ia_1 - a_2 + ia_3 + a_4 - ia_5 - a_6 + ia_7 + a_8 + \ldots = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}ia_{2n-1} = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + i\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n}\) jest zbieżny, więc są zbieżne szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\), a co za tym idzie zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^na_n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n = -ia_1 - a_2 + ia_3 + a_4 - ia_5 - a_6 + ia_7 + a_8 + \ldots = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}ia_{2n-1} = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + i\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n}\) jest zbieżny, więc są zbieżne szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1}}\), a co za tym idzie zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^na_n}\)
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Rozstrzygnąć zbieżność szeregów
Da się, ale ostatnie przejście jest błędne, więc całe rozwiązanie też. Możesz też to skonfrontować z moim kontrprzykładem.