Badanie zbieżności szeregu

[Nihilius]

Witam,mam problem z zadaniem z szeregów
\(\displaystyle{ \frac{\ln n^2}{ \sqrt{n+1} }×\sin \left( \frac{2n+1}{2} \right) \pi}\) sprawdziłem nie jest zbieżny bezwzględnie kryterium dirchleta też chyba nie działa bo pierwsza część wyrażenia nie zbiega do zera... będę wdzięczny za pomoc.

[bartek118]

Nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

[a4karo]

@bartek
spełnia
@Nihilus
zbiega
PS w tym szeregu brakuje szeregu

[Nihilius]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{\ln n^2}{ \sqrt{n+1} }×\sin \left( \frac{2n+1}{2} \right) \pi}\) fakt zapomniałem wstawić Pomożesz? nie wiem jak się za niego zabrać:/

[a4karo]

Policz do czego dąży \(\displaystyle{ \frac{2\ln n}{\sqrt{n+1}}}\)

[Nihilius]

Według wolframa do zera, więc działa kryterium dirichleta czyli zbieżny
Trochę poza tematem zdradzisz mi zależność w szybkości dążenia do nieskończoności w zależności od typu wyrażenia tj jak w tym przykładzie \(\displaystyle{ \ln n< \sqrt{n}}\)
jak się sprawa ma dla np \(\displaystyle{ n! ? n^x}\) ?

[raisa343]

\(\displaystyle{ ×\sin \left( \frac{2n+1}{2} \right) \pi=×\sin \left(n\pi+ \frac{\pi}{2}\right)= (-1)^{n}}\)

Czy taki zapis jest poprawny?

[a4karo]

@raisa
ok
@Nihilus
dla niektórych wyrażen znane są wzory asymptotyczne, np \(\displaystyle{ n!\approx n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}}\). Na ogół istotne jest porównanie dwóch rzeczy. Np logarytm rosnie wolniej do nieskończoności niż dowolna potęga dodatnie. Z drugiej strony dowolna dodatnia potęga rośnie wolniej niż dowolna funkcja wykładnicza o podstawie większej od 1.
Troche praktyki, reguła de l'Hospitala i zobaczysz, o co chodzi.

[Nihilius]

Dzięki za pomoc

[Bobi02]

Czyli biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{2n+1}{2} \right) \pi=×\sin \left(n\pi+ \frac{\pi}{2}\right)= (-1)^{n}}\) de facto można zapisać

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{2\ln n}{\sqrt{n+1}}}\) i zastosować kryterium Leibniza?

[rafalpw]

Tak. Kryterium Leibniza to szczególny przypadek kryterium Dirichleta.

[ostas12345]

Sorry, moje pytanie może być trochę trywialne, ale jak wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{2\ln n}{\sqrt{n+1}}}\) jest malejący? Mi wychodzą jakieś nierówności typu \(\displaystyle{ n^{\sqrt{n+2}} > (n+1)^{\sqrt{n+1}}}\)

[rafalpw]

Można pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{2 \ln x}{ \sqrt{x+1} }}\) maleje.

[ostas12345]

Za pomocą różniczkowania? Niestety nie będę mógł różniczkować na kolokwium. Czy da się wykazać w jakiś elementarny sposób, że ten ciąg maleje?

[rafalpw]

Najłatwiej jest to pokazać właśnie przy pomocy różniczkowania. Na razie nic mi nie przychodzi do głowy jak to pokazać elementarnie.