Znaleźć wartości parametru a, dla których szereg zbieżny.

[princess691]

\(\displaystyle{ a \in R}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a^{x_n}}\)
\(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{ \sqrt[n]{2}-1 }}\)

[a4karo]

Uwaga: W zadaniu zamiast \(\displaystyle{ x}\) powinno wszędzie być \(\displaystyle{ x_n}\).


Wskazówka: \(\displaystyle{ \frac{2^{1/n}-1}{1/n}\to \ln 2}\)

[princess691]

też o tym myślałam, ale nie wiem jak to wszystko po kolei ładnie i zgrabnie zapisać

[a4karo]

popatz co się dzieje gdy \(\displaystyle{ a>1}\), \(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ 0<a<1}\) (dla \(\displaystyle{ a<0}\) potęgowanie nie ma sensu.

[Marynarz94]

A jaka jest ostateczna odpowiedź? Obliczył to ktoś? Mi wyszło, że dla \(\displaystyle{ a in [0,1)}\) jest zbieżny, a dla \(\displaystyle{ a in [1, +infty)}\) - rozbieżny. Zgadza się?

[ostas12345]

Wydaje mi się, że się zgadza, dla \(\displaystyle{ a = 0}\) mamy szereg złożony z samych zer, więc zbieżny. Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) mamy szereg złożony z samych jedynek więc rozbieżny.

Dla \(\displaystyle{ a > 1}\) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{ 2^{1/n}-1 }} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{ 2^{1/n}-1 }\ln a}
= \lim_{n \to \infty} e^{n\frac{1/n}{ 2^{1/n}-1 }\ln a} = \lim_{n \to \infty} e^{n\frac{\ln a}{\ln 2}} = \infty}\)
Dla \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\) jest spełniony warunek konieczny oraz dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ n < \frac{1}{2^{1/n}-1} < 2n}\), więc szereg jest zbieżny

Zajrzyj też tutaj 353399.htm