Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu:

\(\displaystyle{ a_n= \frac{n-\sqrt{n^2-n}}{2n-\sqrt{4n^2+n}}}\)

Proszę rozszerzyć ułamek przez \(\displaystyle{ n+\sqrt{n^2-n}}\), żeby pozbyć się kłopotu w liczniku, i przez \(\displaystyle{ 2n+\sqrt{4n^2+n}}\) z tego samego powodu w mianowniku.

Przykład jest analogiczny do tego co dałeś na innym forum:

\(\displaystyle{ a_n=n-\sqrt[3]{n^3-n^2}}\)

Rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} a_n=\lim_{n \to +\infty}( n-\sqrt[3]{n^3-n^2})=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty}( n-\sqrt[3]{n^3-n^2})\cdot \frac{n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3-n^2}+ \left(n^3-n^2\right)^{\frac{2}{3}}}{n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3-n^2}+ \left(n^3-n^2\right)^{\frac{2}{3}}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^3-n^3+n^2}{n^2+n^2\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}+n^2 \left(\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}\right)^2} = \\ \lim_{n \to +\infty}\frac{{\not {n^2}}^{ \ {\large{1}}}}{\not{n^2} \underbrace {{\left(1+\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}+\left(\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}\right)^2\right)}}_{\large{1+1+1}}}= \frac{1}{3}}\)

Więc jaki jest dokładnie problem?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} = \frac{n-\sqrt{n^2-n}}{2n-\sqrt{4n^2+n}} = \lim_{n \to +\infty} (\frac{n^2(1-\sqrt{1-\frac{1}{n}})(2-\sqrt{4+\frac{1}{n}})}{4n^2-4n^2-n})=\lim_{n \to +\infty} \left(-n(1-\sqrt{1-\frac{1}{n}})(2-\sqrt{4+\frac{1}{n}})\right)=- \infty \cdot 0}\)

przykład który podałeś jest jak widzisz troche inny.
tutaj jest problem widzisz jakieś rozwiązanie?

Zajmij się osobno licznikiem i mianownikiem.