Zbadaj zbieżność szeregów

[Versi]

\(\displaystyle{ a)
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[3]{ \frac{2n+3}{3n+4}}}\)

\(\displaystyle{ b)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{3}}{(2n)!}}\)

\(\displaystyle{ c)
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \tg \frac{1}{\sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ d)
\sum_{n=2}^{\infty} \pi ^{n}( \frac{n-1}{n})^{n ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ e)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{3n-1}}\)

\(\displaystyle{ f)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^{n}+7 \cdot 3^{n}}{5^{n}}}\)

Proszę również o powierzchowne wytłumaczenie rozwiązań

[Funktor]

Znasz jakiekolwiek kryteria zbieżności szeregów ?

[Versi]

d'Alemberta
Leibniza
porownawcze(ledwo)
czego jeszcze potrzebuje

[Funktor]

jeszcze Cauchego by się przydało


a) Szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Jakie to warunek? To jest łatwe do sprawdzenia.

b) Można na różne sposoby, jak jest się dobrym z nierówności to można to jakoś poszacować. Takie rozwiązanie Brutal Force to kryterium d'Alemberta

c) Kryterium Leibniza
d) Cauchego
e) poównawcze
f) Porównawcze lub Cauchego

[Versi]

OK
a)niewiadomo- wyszło \(\displaystyle{ 1}\)
b)rozbieżny- wyszło \(\displaystyle{ \infty}\)
c)czy w kryterium Lebiniza warunkiem koniecznym nie jest malejący ciąg? jest przecież
\(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) więc skąd wiadomo że jest malejący?
d)zbieżny- wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{e}}\)
e)mógłby ktoś pokazać jak to zrobić metodą porównawczą ale tak jak chłopu na miedzy
f)tak jak wyżej bo Cauchy'm zatrzymuje się w momencie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{3 \cdot 2^{n}+7 \cdot 3^{n}}}{5}}\)

[Funktor]

a) czego nei wiadomo ?

b) tak

c) jak dokładnie brzmi kryterium Leibnitza?
d) jak liczyłeś bo coś mi się nie zgadza ? raczej rozbieżny
e) wskazówka jest taka że szereg zachowuje się z grubsza jak szereg harmoniczny wiec..

f) wystarczy wyznaczyć granicę mianownika i po sprawie, to już jest koniec

[Versi]

a) albo nie umiem już przepisywać albo wykładowca mnie oszukuje q>1 rozbieżny, q<1 zbieżny, tak mam w notatkach
b) dzięki
c) no rzeczywiście jestem kretynem. Dobra, a jak teraz tego tangensa ruszyć?
d) sprowadza mi się do tego że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \pi (1+ \frac{-1}{n}) ^{n}}\)

e) rozumiem ale próbuje i nie moge sprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n ^{ \alpha } }}\)
f)tzn.? że wynik to 5 czy 1/5?

[Funktor]

chyba wykłądy z matematyki to się przespało, masz jakiś egzamin niebawem ? ciężko jest ruszyć szeregi jak się ma problemy z granicami. granica licznika w ostatnim to 3.-- 11 wrz 2013, o 20:35 --a) jaki jest warunek konieczny zbiezności szeregu?( w literaturze to się nawet dokładnie tak nazywa)

[Versi]

Zgadza się. Mam egzamin. Jak doszedłeś do licznika? Co z przykładami c) i e)?

[Funktor]

Wpierw musisz wiedzieć jak wygląda kryterium z którego mamy korzystać ( przykład z tangensem)

-- 11 wrz 2013, o 20:48 --

d) korzystałeś z kryterium Cauchego pewnie. Wskazówka jest taka że \(\displaystyle{ \pi /e>1}\)

-- 11 wrz 2013, o 20:50 --

f) jak wyłączysz \(\displaystyle{ 3^{n}}\) przed nawias pod pierwiastkiem to powinno być dla ciebie bardziej widoczne co się tam dzieje. Jeśli można zapytać, co studiujesz?

-- 11 wrz 2013, o 20:59 --

e) \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n-1}> \frac{1}{3n-1}= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n- \frac{1}{3} } }}\) a to jest szereg harmoniczny pomnożony przez jedną przecią i przesunięty w argumencie o jedną trzecią więc badany szereg jest rozbieżny

[Versi]

no w d) to rzeczywiście zlamiłem
f) no tak
Można. Informatykę.
Dzięki za pomoc. Idę ogarniać sinusy