Zbieżność i zbieżność bezwzględna

[Mefistofeles]

Cześć. Moje pytanie jest następujące: dlaczego szereg \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} (-1) ^{n+1}\sin( \frac{1}{n})}\) jest zbieżny warunkowo, a \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} (-1) ^{n+1}\sin( \frac{1}{n ^{2}})}\) jest zbieżny bezwzględnie? Czy zbieżności obu \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1}(-1) ^{n+1}\sin( \frac{1}{n})}\) i \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \left| (-1) ^{n+1}\sin( \frac{1}{n})\right|}\) nie można udowodnić z kryterium Dirichleta?

[Barbara777]

Bo jak wezmiesz wartosci bezwzledne wyrazow pierwszego szeregu, to dostaniesz szereg, ktory zachowuje sie jak rozbiezny szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) (kryterium porownawcze w wersji granicznej), a drugiego - jak zbiezny szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\)