Kryterium ilorazowe

[lordmatiz]

Witam.
Prosiłbym o pomoc z poniższym zadankiem:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{ \sqrt{n^{3}+1 } }}\)
Nie bardzo wiem jak posługiwać się kryterium ilorazowym więc będę wdzięczny za każdą pomoc.
Czy w tym przypadku użyjemy \(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{ \sqrt{n^{3}+1} }}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ a _{n} }{ b_{n}} = n+1 \rightarrow \infty}\)
Skoro \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest rozbieżne to i \(\displaystyle{ a_{n}}\) takie będzie??

[yorgin]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ a _{n} }{ b_{n}} = n+1 \rightarrow \infty}\)

Źle stosujesz kryterium.

[lordmatiz]

Eh.. Nie mam pomysłów. Mógłbym prosić o jakąś większą podpowiedź?

[yorgin]

Licznik jest jakiego rzędu? Mianownik jakiego rzędu?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n, n^{3/2}}\)

[lordmatiz]

No dobrze.. ale chyba w tym przypadku nie obędzie się bez tłumaczenia jak krowie na rowie :/

No chyba, że mam/mogę to przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{n+1}{ \sqrt{ n^{3} +1} }\le \frac{n}{ \sqrt{ n^{3} } }= \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)?
... Ale wtedy to nie musiałbym używać kryterium...

[yorgin]

Nie możesz zrobić takiego oszacowania, jest ono nieprawdziwe.

Pytałem o rzędy licznika i mianownika. Przy liczeniu granicy wyrazy niższych rzędów znikają. Jak masz rząd licznika i mianownika, to tworzysz ułamek, w którym w liczniku jest jednomian rzędu licznika wyjściowego, tak samo z mianownikiem.

[lordmatiz]

Dobra, czegoś takiego potrzebowałem Dzięki wielkie za pomoc.
Podstawiam \(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{ \sqrt{n} }}\), wtedy granica \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{ b_{n} } =1}\), a skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} }}\) jest szeregiem harmonicznym o stopnia mniejszego od 1, to mamy szeregi zbieżne.
Jeszcze raz dzięki!