granica ciągu z liczbą e

[qaz]

Oblicz granicę ciągu \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{5n+2}{5n+4}\right) ^{5n-5}}\)

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{5n+2}{5n+4} \right) ^{5n-5} = \left( \frac{5n+4-2}{5n+4} \right) ^{5n-5} =
\left( 1 + \frac{-2}{5n+4} \right) ^{5n-5}}\)

co Ci to przypomina?

[qaz]

Nie wiem jak teraz przekształcić, żeby mianownik i wyrażenie w potędze było takie samo, bo o to chyba chodzi...

[yorgin]

Pomnożyć i podzielić wykładnik przez mianownik ułamka.

[qaz]

Wiem, że granica w nieskończonosci \(\displaystyle{ \big(1+\frac{1}{n}\big)^n=e}\). Tutaj oprócz tego, że ta potęga jest tak bardzo rozbudowana to jeszcze jest w liczniku ułamka w podstawie \(\displaystyle{ -2}\). Szczerze mówiąc mocno skomplikowany jest ten przykład. Nie wiem jak to dalej rozwiązać....

[yorgin]

Jest mocniejszy fakt:

Jeśli \(\displaystyle{ a_n\to+\infty}\), to \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{a_n}\right)^{a_n}=e^k}\)

z którego należy tu skorzystać.

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \big(1 + \frac{-2}{5n+4}\big)^{5n-5} = \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{5n-5}=
\big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(5n-5) \cdot \frac{\frac{5n+4}{-2}}{\frac{5n+4}{-2}} } =
\big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \cdot \frac{5n-5}{\frac{5n+4}{-2}} } =
\left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{5n-5}{\frac{5n+4}{-2}} }} =
\left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{-10n+10}{5n+4 }}\\

\lim_{ n \to \infty } \left[ \big(1 + \frac{1}{\frac{5n+4}{-2}}\big)^{(\frac{5n+4}{-2}) \right]^{\frac{-10n+10}{5n+4 }} = \lim_{ n \to \infty } e^\frac{-10n+10}{5n+4 }}}\)

z tym już sobie poradzisz

[qaz]

to mi wyjdzie tak:
\(\displaystyle{ \bigg(\big(1+\frac{-2}{5n+4}\big)^{5n+4}\bigg)^{\frac{5n-5}{5n+4}}\)
czyli chyba powinno być \(\displaystyle{ (e^{-2})^{\frac{5n-5}{5n+4}}}\)
czyli ostatecznie to: \(\displaystyle{ e^{-2}}\), bo ten ułamek w wykładniku dąży do \(\displaystyle{ 1}\), tak?

[Ser Cubus]

tak, zauważ, że u mnie wychodzi na to samo

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{-10n+10}{5n+4 } = -2}\)

chciałem poprostu pokazać, skąd to się wzięło

[qaz]

dziękuje za pomoc