Obliczenie granicy ciągu- twierdzenie o trzech ciągach

[Althorion]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{-1}{n} + 2n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{2n^2 - 1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2n^2-1}}{\sqrt[n]{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{\sqrt{2}n+1}\cdot\sqrt[n]{\sqrt{2}n-1}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{1 \cdot 1}{1} = 1}\)

[Macius700]

skąd \(\displaystyle{ 1 \cdot 1}\) się wzięło? Nie powinno być \(\displaystyle{ 2}\)

[Althorion]

Nie. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}\) dla dowolnej stałej dodatniej dąży do jedynki.

[Macius700]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n} + 2n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{2n^2 - 1}{n}}}\) A co zrobić dla tej granicy?

[rafalpw]

Rzeczywiście \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a} \rightarrow 1}\) dla stałej \(\displaystyle{ a>0}\) , ale w tym przykładzie to się nie przyda. Polecam skorzystać z faktu: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \rightarrow 1}\)

[Althorion]

To o tej samej dwójce mówiłem, która zdawała się autora dziwić.

[rafalpw]

Dobrze, rozpiszę to:
\(\displaystyle{ 1 \leftarrow \sqrt[n]{n} \le \left \sqrt[n]{\frac{(-1)^n}{n}+2n }\right \le \sqrt[n]{3n}= \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \cdot 1=1}\) , czyli

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{\left( -1\right)^n }{n}+2n }=1}\)

[Frmen]

Macius uporczywym nawracaniem do początku wyciągnął z was rozwiązanie..

Althorion - to co napisałeś jest równie oczywiste, jak to co trzeba dowieść, więc jak tak mamy dowodzić, to lepiej od razu napisać że to widać, a poza tym temat zadania sugeruje że "trzema ciągami" autor zadania sobie życzy

Rafal - rozpisałeś mu to , co napisałem a on dalej nie wie dlaczego, ani nawet ze to rozpisanie mojej podpowiedzi.

a wszystko dlatego że dajecie się wypuścić..

Nie od początku Maciusiu tylko od tego miejsca co napisałem.
Masz dodać do obu stron obu nierówności to, co Ci brakuje. dopiero później będzie od początku.

[Althorion]

Althorion - to co napisałeś jest równie oczywiste, jak to co trzeba dowieść, więc jak tak mamy dowodzić, to lepiej od razu napisać że to widać, a poza tym temat zadania sugeruje że "trzema ciągami" autor zadania sobie życzy

W sumie tak. Faktycznie należałoby raczej to rozpisać tak jak Ty to zrobiłeś, lepiej rozwiewa to wszelkie wątpliwości.

[Macius700]

trzema pociągami zostało to zrobione na początku. A poźniej granice mneijszą lub równą i większa lub równej od liczonej liczy stosując zwykłe operacje arytmetyczne więc pytam się wam jak je obliczyć te dwie granice normalnie.

[rafalpw]

Nie. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a}}\) dla dowolnej stałej dodatniej dąży do jedynki.

Polecam skorzystać z faktu: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \rightarrow 1}\)

[Macius700]

wystarczy napisać że jest równe 1 bez żadnych przekształceń tak jak kolega wcześniej zrobił?

[rafalpw]

Jeżeli nie jesteś proszony o udowadnianie powyższych twierdzeń tylko o wyznaczenie granicy to tak, tyle wystarczy.