Granice ciągów:

[kikusia739]

Mam kolowkium z granicy ciągów i mam takie zadania. Prosiłabym kogoś o sprawdzenie czy dobrze rozwiązuje te zadania

Oblicz granice ciągów:
a) \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n+1} = \frac{2}{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{2n+n ^{2}-n ^{4} }{n+ n^{3} } = 0}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{\left( n^{20} + 2\right) ^{3}}{ \left( n^{3} +1 \right) ^{20} } = 1}\)

d) \(\displaystyle{ \frac{ \left( n-1\right) ^{3} }{\left( n+1\right) \left( 2-n\right) ^{2} } = 1}\)

e) \(\displaystyle{ \frac{ \left(2-n ^{2} \right) ^{2} }{1-n ^{4} } = -1}\)

f) \(\displaystyle{ \frac{ \left( 4-n ^{2} \right) ^{2} }{\left( 2+n\right)\left( n^{3} -1\right) } = 1}\)

g) \(\displaystyle{ \frac{3n ^{2}- \sqrt{n ^{2}-2 } }{2n ^{2} -2n}= \frac{3}{2}}\)

h) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{ n^{2} +n} }{n+2} = ?}\) nie wiem jak liczyć pierwiastki stopnia 3 jak ktośby mógł mito wyjaśnić to byłabym bardzo wdzięczna

i) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{ n^{2} } + \sqrt{n} }{ \sqrt[4]{ n^{3} +n }-n } = 0}\)

j) \(\displaystyle{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n} = 0}\)

k) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ n^{3}+ 4n ^{2} }-n } = 2}\)

[miodzio1988]

b juz zle

[kikusia739]

Aha, a czy teraz bedzie dobrze:
b) \(\displaystyle{ \frac{2n+n ^{2} -n ^{4} }{n+n ^{3} } = \lim_{x \to \infty } \frac{n\left( 2+ \frac{n ^{2} }{n}- \frac{n ^{4} }{n} \right) }{n\left( 1+ \frac{n ^{3} }{n} \right) }= \frac{2}{1} = 2}\)

???

[kipsztal]

nie,he he!
w mianowniku \(\displaystyle{ (1+n^2)}\) masz dalej nieskończonosc
w h) przekształc tak aby mianownik także był pod pierwiastkiem (podnosisz do 3 potęgi), obliczasz granice tego pod pierwiastkiem i pierwiastkujesz.... chyba

[kikusia739]

Skąd Ci się bierze w mianowniku \(\displaystyle{ \left( 1+n ^{2} \right)}\) ?

[rafalpw]

Masz następujący ciąg: \(\displaystyle{ \frac{2n+n ^{2}-n ^{4} }{n+ n^{3} }}\)
Warto sobie na początku pogrupować wyrazu od potęgi największej do najmniejszej, bo potem łatwo się pomylić. Otrzymujesz: \(\displaystyle{ \frac{-n ^{4} +n ^{2}+2n }{n ^{3}+n }= \frac{n(-n ^{3}+n+2) }{n(n ^{2} +1)} = \frac{-n ^{3}+n +2 }{n ^{2}+1 }}\) Teraz dzielisz przez najwyższy wykładnik, czyli\(\displaystyle{ n ^{3}}\) i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{-1+ \frac{1}{n ^{2} }+ \frac{2}{n ^{3} } }{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n ^{3} } } \rightarrow \frac{-1+0+0}{0+0} = \frac{-1}{0} =- \infty}\)-- 6 gru 2012, o 17:06 --A jeśli chodzi o przykład h) to robisz w ten sam sposób. Dzielisz przez najwyższy wykładnik, czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ n ^{1}}\)
Otrzymujesz: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n ^{2} } } }{1+ \frac{2}{n} } \rightarrow \frac{ \sqrt[3]{0+0} }{1+0} = \frac{0}{1} =0}\)

[kikusia739]

Dziękuje, a dlaczego jeżeli dzielisz wszystko przez \(\displaystyle{ n^{1}}\) to w liczniku zrobiłeś tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{ n^{2} } }}\) dlaczego podzieliłeś 1 przez \(\displaystyle{ n^{2}}\)??

[rafalpw]

Jeżeli chcemy policzyć \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt[3]{n ^{2}+n }}\) to musimy włączyć \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) do pierwiastka w następujący sposób: \(\displaystyle{ a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a ^{n}b }}\) , czyli w naszym przypadku to będzie tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt[3]{n ^{2} +n}= \sqrt[3]{ \frac{1}{n ^{3} }(n ^{2}+n ) }= \sqrt[3]{ \frac{n ^{2} }{n ^{3} }+ \frac{n}{n ^{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2} } }}\)

[kikusia739]

Yhyym. OK
Dzięki

A reszte zadań mam źle czy jak?

[rafalpw]

Pozostałe są policzone prawidłowo.