Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Dosyć długo już nad tym dumam i nie mogę dojść do rozwiązania.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } + \frac{1}{ \sqrt{n+2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right)}\)

Wynik: \(\displaystyle{ 2 \left( \sqrt{2} -1 \right)}\)


\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ \sqrt{1 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3} + ... + \sqrt{n \left( n+1 \right) } }{n} - \frac{n}{2} \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 1}\)


Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 16:13 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Zacznijmy od przykładu pierwszego.

Zakładam, że twierdzenie znasz. Jaki tutaj będzie ciąg w mianowniku a jaki w liczniku? (to dość oczywiste, ale skoro nie możesz zrobić przykładu, to pytam.)

Chyba, że problem pojawia się gdzieś później, to napisz, gdzie dokładnie.
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

W mianowniku i w liczniku muszą być ciągi rozbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\). W mianowniku ciąg musi być dodatkowo rosnący.

Próbowałam sprowadzić wszystkie wyrazy do wspólnego mianownika i wtedy wykorzystać to twierdzenie. Nie widzę jednak jak mogę uprościć to wyrażenie.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Ciąg w liczniku nie musi być rozbieżny.

Gdyby twierdzenie Stolza wymagało sprowadzenia tego czegoś do wspólnego mianownika, to wątpię, żeby komukolwiek chciało się z niego korzystać.
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Próbuję więc skorzystać z tego tw. bezpośrednio, tj. niczego nie przekształcająć.
Dostaję:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n}} \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) - \frac{1}{ \sqrt{n-1} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2 \left( n-1 \right) } } \right)}\)

Co dalej? Nic ładnego mi z tego nie chce wyjść.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 16:14 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Bo źle używasz.

W takim razie, jak brzmi twierdzenie Stolza?
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Czyli powinno być:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n-1)n} } + \frac{1}{ \sqrt{n(n+2)} - \sqrt{(n-1)(n+1)}} +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n^2} - \sqrt{2(n-1)^2} }}\)

Czy teraz jest poprawnie? Jaki jest nastepny krok?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Nie nie jest poprawnie. Nie znasz/Nie rozumiesz tego twierdzenia.

Jaka jest treść twierdzenia Stolza?
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ b_n}\)jest rosnący i rozbieżny i istnieje granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}= g}\)

wówczas granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}}\)

również istnieje i równa jest g.
(indeksy 'n' można zastąpić 'n-1' oraz 'n+1' zastąpić 'n' - jest to równoważne)


Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

mrsemily pisze:Jeśli ciąg

(...)

Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków
Tutaj. Trzeba te wszystkie ułamki potraktować jako cały ciąg, żeby to coś dało.
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Czy granica sumy nie jest sumą granic...?
Jeśli nie mogę tak zrobić, to muszę po granicy mieć jeden ułamek. Chyba jedynym sposobem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Zależy kiedy, ale to nawet nie o to chodzi. Jeżeli użyjesz twierdzenia Stolza dla każdego ułamka oddzielnie, dostaniesz tyle samo ułamków, ile miałaś na początku. To twierdzenie ma pomagać, a nie jeszcze utrudniać.

Najpierw musisz zrozumieć, co robisz źle.

Może zrób najpierw prosty przykład.

Oblicz granicę (korzystając z tw. Stolza):

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\)
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Ja zrobiłam już dokładnie 12 przykładów korzystając z tego tw. i wychodziło mi dobrze. Dopiero na tych dwóch się zatrzymałam. Chyba już wiem o co chodzi.


\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}} + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n}} - \frac{1}{ \sqrt{n}} + ... - \frac{1}{ \sqrt{2n-2}} }{ \sqrt{n} - \sqrt{n-1} }}\)

Wtedy po skróceniu zostają tylko trzy wyrazy w liczniku i wynik jest dobry. Czy teraz się zgadza?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: Tmkk »

Tak, dobrze.
mrsemily
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza

Post autor: mrsemily »

Dziękuję za pomoc
ODPOWIEDZ