Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Dosyć długo już nad tym dumam i nie mogę dojść do rozwiązania.
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } + \frac{1}{ \sqrt{n+2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 2 \left( \sqrt{2} -1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ \sqrt{1 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3} + ... + \sqrt{n \left( n+1 \right) } }{n} - \frac{n}{2} \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 1}\)
Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } + \frac{1}{ \sqrt{n+2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 2 \left( \sqrt{2} -1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ \sqrt{1 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3} + ... + \sqrt{n \left( n+1 \right) } }{n} - \frac{n}{2} \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 1}\)
Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 16:13 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Zacznijmy od przykładu pierwszego.
Zakładam, że twierdzenie znasz. Jaki tutaj będzie ciąg w mianowniku a jaki w liczniku? (to dość oczywiste, ale skoro nie możesz zrobić przykładu, to pytam.)
Chyba, że problem pojawia się gdzieś później, to napisz, gdzie dokładnie.
Zakładam, że twierdzenie znasz. Jaki tutaj będzie ciąg w mianowniku a jaki w liczniku? (to dość oczywiste, ale skoro nie możesz zrobić przykładu, to pytam.)
Chyba, że problem pojawia się gdzieś później, to napisz, gdzie dokładnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
W mianowniku i w liczniku muszą być ciągi rozbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\). W mianowniku ciąg musi być dodatkowo rosnący.
Próbowałam sprowadzić wszystkie wyrazy do wspólnego mianownika i wtedy wykorzystać to twierdzenie. Nie widzę jednak jak mogę uprościć to wyrażenie.
Próbowałam sprowadzić wszystkie wyrazy do wspólnego mianownika i wtedy wykorzystać to twierdzenie. Nie widzę jednak jak mogę uprościć to wyrażenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Ciąg w liczniku nie musi być rozbieżny.
Gdyby twierdzenie Stolza wymagało sprowadzenia tego czegoś do wspólnego mianownika, to wątpię, żeby komukolwiek chciało się z niego korzystać.
Gdyby twierdzenie Stolza wymagało sprowadzenia tego czegoś do wspólnego mianownika, to wątpię, żeby komukolwiek chciało się z niego korzystać.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Próbuję więc skorzystać z tego tw. bezpośrednio, tj. niczego nie przekształcająć.
Dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n}} \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) - \frac{1}{ \sqrt{n-1} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2 \left( n-1 \right) } } \right)}\)
Co dalej? Nic ładnego mi z tego nie chce wyjść.
Dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n}} \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) - \frac{1}{ \sqrt{n-1} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2 \left( n-1 \right) } } \right)}\)
Co dalej? Nic ładnego mi z tego nie chce wyjść.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2012, o 16:14 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Czyli powinno być:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n-1)n} } + \frac{1}{ \sqrt{n(n+2)} - \sqrt{(n-1)(n+1)}} +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n^2} - \sqrt{2(n-1)^2} }}\)
Czy teraz jest poprawnie? Jaki jest nastepny krok?
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n-1)n} } + \frac{1}{ \sqrt{n(n+2)} - \sqrt{(n-1)(n+1)}} +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n^2} - \sqrt{2(n-1)^2} }}\)
Czy teraz jest poprawnie? Jaki jest nastepny krok?
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Jeśli ciąg \(\displaystyle{ b_n}\)jest rosnący i rozbieżny i istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}= g}\)
wówczas granica
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}}\)
również istnieje i równa jest g.
(indeksy 'n' można zastąpić 'n-1' oraz 'n+1' zastąpić 'n' - jest to równoważne)
Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}= g}\)
wówczas granica
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}}\)
również istnieje i równa jest g.
(indeksy 'n' można zastąpić 'n-1' oraz 'n+1' zastąpić 'n' - jest to równoważne)
Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Tutaj. Trzeba te wszystkie ułamki potraktować jako cały ciąg, żeby to coś dało.mrsemily pisze:Jeśli ciąg
(...)
Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Czy granica sumy nie jest sumą granic...?
Jeśli nie mogę tak zrobić, to muszę po granicy mieć jeden ułamek. Chyba jedynym sposobem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Jeśli nie mogę tak zrobić, to muszę po granicy mieć jeden ułamek. Chyba jedynym sposobem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Zależy kiedy, ale to nawet nie o to chodzi. Jeżeli użyjesz twierdzenia Stolza dla każdego ułamka oddzielnie, dostaniesz tyle samo ułamków, ile miałaś na początku. To twierdzenie ma pomagać, a nie jeszcze utrudniać.
Najpierw musisz zrozumieć, co robisz źle.
Może zrób najpierw prosty przykład.
Oblicz granicę (korzystając z tw. Stolza):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\)
Najpierw musisz zrozumieć, co robisz źle.
Może zrób najpierw prosty przykład.
Oblicz granicę (korzystając z tw. Stolza):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
Obliczyć granicę korzystająz z tw. Stolza
Ja zrobiłam już dokładnie 12 przykładów korzystając z tego tw. i wychodziło mi dobrze. Dopiero na tych dwóch się zatrzymałam. Chyba już wiem o co chodzi.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}} + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n}} - \frac{1}{ \sqrt{n}} + ... - \frac{1}{ \sqrt{2n-2}} }{ \sqrt{n} - \sqrt{n-1} }}\)
Wtedy po skróceniu zostają tylko trzy wyrazy w liczniku i wynik jest dobry. Czy teraz się zgadza?
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}} + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n}} - \frac{1}{ \sqrt{n}} + ... - \frac{1}{ \sqrt{2n-2}} }{ \sqrt{n} - \sqrt{n-1} }}\)
Wtedy po skróceniu zostają tylko trzy wyrazy w liczniku i wynik jest dobry. Czy teraz się zgadza?