zbieżność szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mattmiller
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 8 sty 2007, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie wiem

zbieżność szeregu

Post autor: mattmiller »

zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n} n!}{n^{n}}}\)

wiem ze tutaj to raczej kryterium Cauchy'ego i ze wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e \cdot \sqrt[n]{n!} }{n}}\)

ale nie wiem jak tą granice policzyc
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

zbieżność szeregu

Post autor: JakimPL »

Ta granica wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) i kryterium Cauchy'ego nie rozstrzygnie, czy szereg jest zbieżny. Należy zastosować kryterium Raabego.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Zordon »

W tej wersji zadanie rozwiązać stosunkowo łatwo, tak jak to jest zrobione tu: 154256.htm przykład 13. Natomiast chętnie zobaczę jak można tu użyć kryterium Raabego.

edit: a jeśli chodzi o problem z obliczeniem powyższej granicy, to jak już zostalo powiedziane, wynosi ona 1, co wynika z TW 11 stąd: 152288.htm
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

zbieżność szeregu

Post autor: JakimPL »

W sumie faktycznie, nie ma co się męczyć, wystarczy zbadać warunek konieczny. Pardon.
Natomiast chętnie zobaczę jak można tu użyć kryterium Raabego.
Przeliczyłem i wyszła zaiste ciekawa granica, ale roboty nieproporcjonalnie dużo .

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\left(\frac{1}{n}+1\right)^n-e\right) n}{e}=-\frac{1}{2}}\)
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Zordon »

i jak obliczyłeś taką granicę?
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

zbieżność szeregu

Post autor: JakimPL »

Akurat kiedyś już liczyłem baaardzo podobną (niezbyt elementarnymi metodami): 277010.htm
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Zordon »

Hmm, znam tą, idzie przez słabą zbieżność rozkładów Ale czy ta nasza granica stąd daje się przetłumaczyć na tamtą?
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

zbieżność szeregu

Post autor: JakimPL »

Jeżeli nie zapomnę, jutro rozpiszę tę granicę.

-- 23 paź 2012, o 16:19 --

Ok, tu zrobiłem inaczej. Znajdźmy ciąg \(\displaystyle{ (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) o identycznym tempie zbieżności co \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) zdefiniowany jako:

\(\displaystyle{ a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

czyli taki ciąg, że zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0}\) (ilorazowe tempo zbieżności równe \(\displaystyle{ 1}\) jest tu niewystarczające).

Takim ciągiem jest:

\(\displaystyle{ b_n=e^{1-\frac{1}{2 n}}}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-b_n\right) n}{e}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-a_n\right) n}{e}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-e^{1-\frac{1}{2 n}}\right) n}{e}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-\left(\frac{1}{n}+1\right)^n\right) n}{e}}\)

Po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-e^{1-\frac{1}{2 n}}\right) n}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-e^{-\frac{1}{2 n}}\right) n}\)

Tę granicę da się wyznaczyć, ale postaram się wykorzystać jeden trick z przejściem na rachunki multiplikatywne. Wprowadźmy operator transformacji funkcji \(\displaystyle{ {\bf \rm{EXP}}(g) = \exp \circ\, g\circ \ln}\), który, mówiąc prosto, zamienia różnicę na iloraz oraz mnożenie na potęgowanie. Wtedy zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1-e^{-\frac{1}{2 n}}\right) n = \ln \left[\lim_{n\to\infty}{\bf \rm{EXP}}\left(\left(1-e^{-\frac{1}{2 n}}\right) n\right)\right]= \ln \left[\lim_{n\to\infty}\left(e^{\frac{1}{2 n}}\right)^n\right]= \ln \left[\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{2}}\right] = \ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}}\)

Co należało wyznaczyć.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Zordon »

Kłamstwo powyżej jest ewidentne. Nie jest prawdą, że z warunku \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0}\) wynika:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-b_n\right) n}{e}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(e-a_n\right) n}{e}}\)

To w jaki sposób jest wyliczana później tamta granica też budzi moje wątpliwości, ale zostawmy to na później...
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

zbieżność szeregu

Post autor: JakimPL »

Whoops . Mam przeczucie, że dla tego konkretnego przypadku

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (n a_n - n b_n) = 0}\)

implikowałoby to, co jest potrzebne, ale porzucę tę koncepcję. Przemyślę to jeszcze.

Jeżeli by zachodziło dla szeregów bezwzględnie zbieżnych:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f(n,k) = \sum_{k=0}^{\infty}\lim_{n\to\infty}f(n,k)}\)

to z rozwinięcia w szereg wychodzi to bezpośrednio, że granice są równe. Ale nie jestem kompletnie pewien co do powyższego, musiałbym zbadać dokładniej, jakie warunki musiałyby być spełnione.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

zbieżność szeregu

Post autor: Dasio11 »

Podejście analityczne:    
Jak kogoś przeraża literka \(\displaystyle{ z,}\) to może ją zamienić na \(\displaystyle{ x}\) i powinno dalej działać.
ODPOWIEDZ