granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
jarekzxc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 23 paź 2009, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: jarekzxc »

witam. otórz jestem lewy z matematyki i prosiłbym o pomoc w wytłumaczeniu na czym polega wyciąganie przed pierwiastek liczby n.
na ćwiczeniach robiliśmy kilka przykładów np
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{3} +2n-1 }{n+2}}\)

przy liczeniu licznika pojawia sie mój problem:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+2n-1 } = \sqrt[3]{n ^{3} \left( 1 \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } \right) } = n \sqrt[3]{1+ \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } }}\)

nie wiem jak liczba n została wyciagnięta przed pierwiastek i dlaczego straciła swój wykładnik ...

prosiłbym aby jeszcze ktoś pokazał mi jak wyłączyć n przed pierwiastek w tym przykładzie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{2}+n }}\)
mam do zrobienia bodajże 30 zadan, a bez Waszej pomocy sobie nie poradzę... proszę o pilną pomoc
Ostatnio zmieniony 20 paź 2012, o 13:26 przez pyzol, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: Vardamir »

Podpowiedz:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}\)

Teraz:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+2n-1 } = \sqrt[3]{n ^{3} \left( 1 \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } \right) } = \sqrt[3]{n ^{3}} \cdot \sqrt[3]{ \left( 1 \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } \right) } = n \sqrt[3]{1+ \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } }}\)

Potrafisz już teraz rozwiązać drugi przykład?
Ostatnio zmieniony 20 paź 2012, o 13:28 przez pyzol, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skalowanie nawiasów.
jarekzxc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 23 paź 2009, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: jarekzxc »

na kartce spróbuję , zaraz napisze-- 20 paź 2012, o 12:48 --nie idzie, nie mam pojęcia jak to zrobic...
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: Vardamir »

Pierwszy krok. Pierwiastek jest stopnia \(\displaystyle{ 3}\), wiec musisz pod nim wyłączyć \(\displaystyle{ n^{3}}\) przed nawias.

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{2}+n } = \sqrt[3]{n^{3} \cdot \left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2} } \right) }}\)

Teraz już analogicznie do pierwszego przykładu.
Ostatnio zmieniony 20 paź 2012, o 13:29 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
jarekzxc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 23 paź 2009, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: jarekzxc »

dzięki wielkie za pomoc
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: Dasio11 »

Vardamir pisze:Pierwszy krok. Pierwiastek jest stopnia \(\displaystyle{ 3}\), wiec musisz pod nim wyłączyć \(\displaystyle{ n^{3}}\) przed nawias.
No nie do końca. Można wyciągać, co się chce, a więc to, czego się akurat potrzebuje. Równie dobrze można zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^2+n} = \sqrt[3]{ n^2 \left(1+\frac{1}{n} \right)} = \sqrt[3]{n^2} \cdot \sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} = n^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.}\)
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: ewap »

Witam, ja mam pytanie do tego przykladu. Skad tam mialby sie sie wziac pierwiastek trzeciego stopnia w liczniku? Nie mozna wyciagnac najwyzszej potegi?

jarekzxc pisze: 20 paź 2012, o 12:15 witam. otórz jestem lewy z matematyki i prosiłbym o pomoc w wytłumaczeniu na czym polega wyciąganie przed pierwiastek liczby n.
na ćwiczeniach robiliśmy kilka przykładów np
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{3} +2n-1 }{n+2}}\)

przy liczeniu licznika pojawia sie mój problem:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+2n-1 } = \sqrt[3]{n ^{3} \left( 1 \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } \right) } = n \sqrt[3]{1+ \frac{2}{n ^{2} }- \frac{1}{n ^{3} } }}\)

nie wiem jak liczba n została wyciagnięta przed pierwiastek i dlaczego straciła swój wykładnik ...

prosiłbym aby jeszcze ktoś pokazał mi jak wyłączyć n przed pierwiastek w tym przykładzie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{2}+n }}\)
mam do zrobienia bodajże 30 zadan, a bez Waszej pomocy sobie nie poradzę... proszę o pilną pomoc
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: Jan Kraszewski »

ewap pisze: 29 gru 2021, o 21:17Skad tam mialby sie sie wziac pierwiastek trzeciego stopnia w liczniku?
Znikąd. Ale podejrzewam, że oryginalny przykład to

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[3]{n ^{3} +2n-1} }{n+2}.}\)

JK
ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy

Re: granice ciągu, wyciąganie przed pierwiastek

Post autor: ewap »

Dziekuje bardzo, bo juz mocno zwatpilam w siebie.
Jan Kraszewski pisze: 29 gru 2021, o 21:50
ewap pisze: 29 gru 2021, o 21:17Skad tam mialby sie sie wziac pierwiastek trzeciego stopnia w liczniku?
Znikąd. Ale podejrzewam, że oryginalny przykład to

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{\sqrt[3]{n ^{3} +2n-1} }{n+2}.}\)

JK
ODPOWIEDZ