Granice ciągów

[karolinaa1231]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących granic...

1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \frac{4^{1-n}+9n^3-3^{n-1}}{2^n-9^{ \frac{n-2}{2} }}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^{n^2+2n}}{ \sqrt{(n^2+2n)^{n^2+2n}} }}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} (-1)^{n(n+2)} \frac{n^2}{2n^2+1}cos *\frac{1}{n}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \sqrt[5]{ \frac{(1+2n)^3}{(2-n)(5-16n)^2} }}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \frac{1+3+5+...+(2n+1)}{n-3n^2}}\)

6. \(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \sqrt{n-3 \sqrt{n}+1 }- \sqrt{n}}\)

Dziękuje:*

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^{n^2+2n}}{ \sqrt{(n^2+2n)^{n^2+2n}} }= \sqrt{ \frac{((n+1)^2)^{n^2+2n}}{(n^2+2n)^{n^2+2n}} }}\)
Dalej przekształcać. Powinno wyjść coś z e.

-- 12 wrz 2012, o 15:14 --

W przykładzie 3 granica najprawdopodobniej nie istnieje. Żeby to pokazać można wziąć podciąg liczb naturalnych parzystych i nieparzystych i pokazać że granice tych podciągów są różne.

-- 12 wrz 2012, o 15:18 --

W 5 należy skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ 1+3+5+...+(2n+1)= \frac{1+2n+1}{2} *(n+1)}\)
Wtedy przykłady 4 i 5 stają się podobne. Należy podzielić licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze z mianownika i analizować.

-- 12 wrz 2012, o 15:20 --

W 6 należy skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt{a}- \sqrt{b} = \frac{a-b}{ \sqrt{a}+ \sqrt{b} }}\)-jest to jeden ze wzorów skróconego mnożenia.-- 12 wrz 2012, o 15:21 --Przykładu 1 nie podejmuję się bo mogę nie potrafić tego wytłumaczyć.

[Bartek93klm]

Rozwiązanie do zadania 1:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty} \frac{4^{1-n}+9n^3-3^{n-1}}{2^n-9^{ \frac{n-2}{2} }}= \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{4}{4^n}+9n^3-\frac{3^n}{3}}{2^n-\frac{3^n}{9}}= \lim_{n \to \infty } \frac{3^n((\frac{1}{3})^n+\frac{9n^3}{3^n}-\frac{1}{3})}{3^n((\frac{2}{3})^n-\frac{1}{9})}= \lim_{n \to \infty } \frac{(\frac{1}{3})^n+\frac{9n^3}{3^n}-\frac{1}{3}}{(\frac{2}{3})^n-\frac{1}{9}}=\frac{0+0-\frac{1}{3}}{0-\frac{1}{9}}=\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}}=3}\)

Uzasadnienie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{9n^3}{3^n}=0}\), wiemy że każda funkcja wykładnicza rośnie znacznie szybciej dla odpowiednio dużych n, niż jakakolwiek funkcja wielomianowa (w naszym przypadku dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\)). Pasuje to udowodnić np korzystając z indukcji matematycznej. (Ja osobiście nie znam na dzień dzisiejszy pochodnych a w indukcji wychodzi wielomian 3 stopnia i wystarczy pokazać że dla \(\displaystyle{ n \ge 8}\) przyjmuje on wartości dodatnie). Można też skorzystać z

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n=0}\)