Matematyka.pl

zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie i w przypadku zbieżności obliczyć jego granicę:

1.) \(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}= \sqrt{3} \\ a_{n+1}= \sqrt{ a_{n} + 3 } \end{cases}}\)

Najpierw sprawdzam monotonicznosc:
\(\displaystyle{ 1) a_{1}= \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}= \sqrt{ \sqrt{3}+3 }}\)

nie bd juz pisac jak udowodnilam, ze \(\displaystyle{ a_{2} > a_{1}}\)

\(\displaystyle{ 2) Z: n}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} > a_{n}}\)

\(\displaystyle{ 3) T:n +1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+2} > a_{n+1}}\)

na mocy indukcji udowodnilam tezę i stwierdzilam, że ciag jes rosnacy.

wiec dalej sprawdzam, czy jest ograniczony.rozpisuje sobie "na boku"

\(\displaystyle{ g^{2}- g-3=0}\)

z tego rownania wychodzą mi dwa rozwiazania:

\(\displaystyle{ g_{1}= \frac{1- \sqrt{13} }{2}}\)
\(\displaystyle{ g_{2} = \frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\)

biorę pod uwagę drugi wynik, bo jest to ciag rosnacy. wydaje mi się, że \(\displaystyle{ a_{1}}\) wyznacza, tak jakby te dolne ograniczenie. nie wiem czy w dobrym kierunku myslę.

wiec znow na mocy indukcji:

\(\displaystyle{ 1) n=1}\)

\(\displaystyle{ a_{1} < \frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2) Z:n}\)

\(\displaystyle{ a_{n}< \frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 3) T: n+1}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1} < \frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\)

Z zalożenia: \(\displaystyle{ a_{n}< \frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\) // dodaje 3

\(\displaystyle{ a_{n} +3< \frac{1+ \sqrt{13} }{2} +3}\) //pierwiastkuję

\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n} +3} < \sqrt{\frac{1+ \sqrt{13} }{2} +3 }}\)

i wychodzi mi : \(\displaystyle{ \sqrt{a_{n} +3} < \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }}\)

i nie wyszlo mi jak w tezie. zastanawiam się, czy ograniczenie zawsze musi byc takie same jak granica ciagu??

mam jeszcze jedno pytanie. jezeli wyjdzie mi, ze ciag jest jednak malejacy to, czy wtedy po obliczeniu \(\displaystyle{ g}\) rozpatruję ten największy wynik? czy moze najmniejszy?

kkasia559 pisze:rozpisuje sobie "na boku"
\(\displaystyle{ g^{2}- g-3=0}\)

A skąd takie równanie?

Q.

kkasia559, to w końcu jak:
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \sqrt{ a_{n}+6 }}\) czy \(\displaystyle{ a _{n+1} = \sqrt{ a_{n}+3 }}\)?
Bo napisane jest jedno a liczysz dla drugiego

juz poprawilam, sory.-- 22 maja 2012, o 18:00 --\(\displaystyle{ \lim_{n} a_{n} = \lim_{n} a_{n+1}= g}\)

wiec \(\displaystyle{ a _{n+1} =g}\)

\(\displaystyle{ g^{2} = g +3}\)

kkasia559, równania, o którym wspomina Qń, nie możesz napisać dopóki nie stwierdzisz, że ten ciąg ma granicę.

rozpisuje sobie "na boku"

Koleżanka napisała

A racja, przepraszam.

Ok, po poprawieniu treści Twoje rachunki są poprawne (choć niekoniecznie najszybsze).

kkasia559 pisze:i wychodzi mi : \(\displaystyle{ \sqrt{a_{n} +3} < \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }}\)
i nie wyszlo mi jak w tezie.

Wyszło:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{13} }{2} }=\sqrt{ \frac{14+ 2\sqrt{13} }{4} }=\sqrt{ \frac{(1+\sqrt{13})^2}{4} }=\frac{1+ \sqrt{13} }{2}}\)

Q.