Obliczyć sumę szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
tygrys1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 maja 2012, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: miasto
Podziękował: 7 razy

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: tygrys1 »

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n ^{2}-1 }}\)
miodzio1988

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: miodzio1988 »

rozkład na ułamki proste najpierw
brzoskwinka1

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: brzoskwinka1 »

\(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2 -1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right)}\)
tygrys1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 maja 2012, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: miasto
Podziękował: 7 razy

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: tygrys1 »

brzoskwinka1 pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{4n^2 -1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right)}\)
Jak dalej ?
miodzio1988

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: miodzio1988 »

wypisz sobie kilka wyrazów
tygrys1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 maja 2012, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: miasto
Podziękował: 7 razy

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: tygrys1 »

Licze ja nie mam pojęcia czy dobrze
jest sobie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \right)}\)
biorę z tego pod lupę kawałek
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} =\frac{1}{2n-1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2-1}= \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = \frac{1}{2 \cdot 3-1}= \frac{1}{6-1} = \frac{1}{5}}\)
szukam ilorazu
\(\displaystyle{ q=\frac{a2}{a1} = \frac{ \frac{1}{3} }{1} = \frac{1}{3}}\)
patrze inną opcję
\(\displaystyle{ q=\frac{ a_{3} }{a _{2} } = \frac{ \frac{1}{5} }{ \frac{1}{3} } = \frac{3}{5}}\)
coś się nie zgadza ...
Czyli sumy nie będzie z geometrycznego nieskończonego, nie wiem co dalej zrobić.
adner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 7 lut 2008, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok / Warszawa
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 63 razy

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: adner »

Nie o to chodzi, wypisz sobie po kolei trzy pierwsze wyrazy całego szeregu(patrząc na ten rozkład na ułamki proste).
tygrys1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 6 maja 2012, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: miasto
Podziękował: 7 razy

Obliczyć sumę szeregu

Post autor: tygrys1 »

Teraz już wiem\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( 1- \frac{1}{2n+1} \right)}\)
liczę granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } = \frac{1}{2}}\)
Dzięki adner !!!
ODPOWIEDZ