Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta

[Kerkyros]

Witam, zrobiłem przykład jednak wolfram, z uwagi na niedostateczny czas obliczeń dla darmowego użytkownika nie mówi czy szereg jest zbieżny/rozbieżny.
Dlatego też prosiłbym o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-2)^{n} \cdot \frac{n!}{n^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!}= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n} \cdot 2 \cdot n! \cdot (n+1)}{(n+1)^{n} \cdot (n+1)} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!} =}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} 2 \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{-n}=2 \cdot e^{-1} < 1}\)

Więc jest zbieżny.
Czy dobrze wykonałem obliczenia?
Z góry dziękuję za sprawdzenie

[octahedron]

Dobrze.

[Kerkyros]

A w tym przypadku nie przeszkadza to, że "upraszczając" \(\displaystyle{ (-2)^{n}}\) zmieniamy jednocześnie sumę tego szeregu?

[adner]

W tym kryterium powinno się badać moduły wyrazów(tak jak to zrobiłeś), bo daje ono zbieżność bezwzględną.

[Kerkyros]

Następny problem, tym razem z przypadkiem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)
Nie wiem jaki test tu zastosować

[adner]

Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.

[Kerkyros]

Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.

Mam sprawdzić za pomocą któregoś z testów czy jest zbieżny/rozbieżny, a wypisywanie testem niestety nie jest ;P

[miodzio1988]

Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)

Na pewno?

[Kerkyros]

A jakie wyrażenie (do kryterium porównawczego jak domniemam) moglibyście zaproponować dla przykładów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \tg \left( \frac{1}{n^{2}} \right)}\)

[miodzio1988]

A jakie znasz nierownosci znasz z tangensem?

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)\le \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) zbieżny

[Kerkyros]

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)\le \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) zbieżny

Czemu akurat \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) ?

[adner]

Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)

Na pewno?

Może mnie złapała jakaś pomroczność jasna, ale moim zdaniem nadal
\(\displaystyle{ \sin (n \pi ) = 0}\)

[octahedron]

A jakie wyrażenie (do kryterium porównawczego jak domniemam) moglibyście zaproponować dla przykładów:

Ja bym zaproponował raczej ilorazowe:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{n^2}\text{ jest zbieżny i }\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\left( \frac{3}{n^2}\right)}{\frac{3}{n^2}}=1\text{ , więc}\sum_{n=1}^{ \infty }\tg\left( \frac{3}{n^2}\right)\text{ też jest zbieżny}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{n}\text{ jest rozbieżny i }\lim_{n\to\infty}\frac{n\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1\text{ , więc}\sum_{n=1}^{ \infty }n\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)\text{ też jest rozbieżny}}\)

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)\le \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) zbieżny

Czemu akurat \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) ?

\(\displaystyle{ \tg x \le \frac{4}{ \pi }x}\) Tak się tangens ogranicza od góry.