Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Witam, zrobiłem przykład jednak wolfram, z uwagi na niedostateczny czas obliczeń dla darmowego użytkownika nie mówi czy szereg jest zbieżny/rozbieżny.
Dlatego też prosiłbym o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-2)^{n} \cdot \frac{n!}{n^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!}= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n} \cdot 2 \cdot n! \cdot (n+1)}{(n+1)^{n} \cdot (n+1)} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} 2 \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{-n}=2 \cdot e^{-1} < 1}\)
Więc jest zbieżny.
Czy dobrze wykonałem obliczenia?
Z góry dziękuję za sprawdzenie
Dlatego też prosiłbym o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-2)^{n} \cdot \frac{n!}{n^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!}= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n} \cdot 2 \cdot n! \cdot (n+1)}{(n+1)^{n} \cdot (n+1)} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n} \cdot n!} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to\infty} 2 \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{-n}=2 \cdot e^{-1} < 1}\)
Więc jest zbieżny.
Czy dobrze wykonałem obliczenia?
Z góry dziękuję za sprawdzenie
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 14:17 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy.
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
A w tym przypadku nie przeszkadza to, że "upraszczając" \(\displaystyle{ (-2)^{n}}\) zmieniamy jednocześnie sumę tego szeregu?
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Następny problem, tym razem z przypadkiem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)
Nie wiem jaki test tu zastosować
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)
Nie wiem jaki test tu zastosować
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 23:18 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok / Warszawa
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 63 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Mam sprawdzić za pomocą któregoś z testów czy jest zbieżny/rozbieżny, a wypisywanie testem niestety nie jest ;Padner pisze:Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)adner pisze:Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.
Na pewno?
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 23:19 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin
Powód: Poprawa wiadomości. \sin
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
A jakie wyrażenie (do kryterium porównawczego jak domniemam) moglibyście zaproponować dla przykładów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \tg \left( \frac{1}{n^{2}} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \tg \left( \frac{1}{n^{2}} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 18:38 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. To samo co wyżej, wyciągnij wnioski.
Powód: Poprawa wiadomości. To samo co wyżej, wyciągnij wnioski.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Czemu akurat \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) ?MichalPWr pisze:\(\displaystyle{ \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)\le \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) zbieżny
-
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok / Warszawa
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 63 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Może mnie złapała jakaś pomroczność jasna, ale moim zdaniem nadalmiodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n \cdot \sin (n \pi )}\)adner pisze:Mało ciekawy szereg, oczywiście zbieżny Jeżeli nie widać tego od razu to wypisz sobie ze trzy pierwsze wyrazy.
Na pewno?
\(\displaystyle{ \sin (n \pi ) = 0}\)
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 23:20 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
Ja bym zaproponował raczej ilorazowe:Kerkyros pisze:A jakie wyrażenie (do kryterium porównawczego jak domniemam) moglibyście zaproponować dla przykładów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{3}{n^2}\text{ jest zbieżny i }\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\left( \frac{3}{n^2}\right)}{\frac{3}{n^2}}=1\text{ , więc}\sum_{n=1}^{ \infty }\tg\left( \frac{3}{n^2}\right)\text{ też jest zbieżny}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{n}\text{ jest rozbieżny i }\lim_{n\to\infty}\frac{n\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1\text{ , więc}\sum_{n=1}^{ \infty }n\tg\left( \frac{1}{n^2}\right)\text{ też jest rozbieżny}}\)
- MichalPWr
- Użytkownik
- Posty: 1625
- Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 387 razy
Sprawdzenie, kryterium d'Alemberta
\(\displaystyle{ \tg x \le \frac{4}{ \pi }x}\) Tak się tangens ogranicza od góry.Kerkyros pisze:Czemu akurat \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) ?MichalPWr pisze:\(\displaystyle{ \tg \left( \frac {3}{n^{2}} \right)\le \frac{4}{ \pi } \cdot \frac {3}{n^{2}}}\) zbieżny