granica (x,y).

[nowik1991]

Cześć mam do rozwiązania jeden limes (sprawdzić czy istnieje granica czy też nie).

\(\displaystyle{ \lim_{x,y \to (0,0)} \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}}\)

Myślę, że w przypadku gdy występuje w \(\displaystyle{ \mbox{lim} \ (\sin ,\cos )}\) to granica przeważnie istnieje.

\(\displaystyle{ 0< \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}< \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})}}\)

Więc z twierdzenia o 3 funkcjach:

\(\displaystyle{ 0 \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})} \rightarrow 0}\)
a więc skoro te dwie dążą do 0 to: \(\displaystyle{ \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})}}\) też dąży do 0.

Proszę o sprawdzenie i poprawienie ewentualnych błędów.

[Absx]

Dobry temat. Mógłby ktoś odpowiedzieć czy to jest dobrze?

[JankoS]

Jeżeli naprawdę \(\displaystyle{ \lim_{z \to 0} \frac{1-\cos (z) }{z}=0}\), to z nierówności \(\displaystyle{ 0< \frac{1-\cos (z)}{z^{2}}< \frac{1-\cos (z)}{(z)}}\) wynikałoby, że \(\displaystyle{ 0<0}\).
Skorzystałbym z twierdzenia \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1}\).

[nowik1991]

Czyli to co napisałem jest źle czy jak?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}< \frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2} + y^{2})}}\)

Ta nierówność nie jest prawdziwa. Jeśli dzielimy przez kwadrat malutkiego wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) to wyjdzie zdecydowanie więcej, niż gdybyśmy podzielili przez nie samo.

Najłatwiej tu podstawić

\(\displaystyle{ r=x^2+y^2}\)

i wtedy \(\displaystyle{ (x, y) \to 0 \Leftrightarrow r \to 0,}\) więc mamy granicę

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{1- \cos r}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{1-\cos^2 r}{(1+\cos r) \cdot r^2} = \ldots}\)

w której następnie przyda się granica

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{\sin r}{r} = 1.}\)