Granica ciągu - z pierwiastkiem w wykładniku

[fotoimona]

Witam mam obliczyć taką granicę :

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\)

Jak zabrać się do tego ?

Z góry dziękuję, Mo.

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\), gdyż \(\displaystyle{ x}\) jest stałą.

Natomiast jeśli miało być \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\), to z praw działań na potęgach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }=2^{ \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x} }}\)

Żeby policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x}\right)}\) wystarczy pomnożyć to przez sprzężenie.

[wb]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{n+1} } }{ 2^{ \sqrt{n} } }=\lim_{n\to\infty}2^{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} } =\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{\left( \sqrt{n+1}- \sqrt{n}\right) \left( \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}\right) }{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} }= \\ =\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} }=2^0=1}\)

[fotoimona]

Dziękuję bardzo