Zbadaj zbieżność (prostego) szeregu

[Pedersen]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sin \frac{2}{ \sqrt{n} }}\)

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \sin \frac{2}{\sqrt{n}} \le \frac{2}{\sqrt{n}}}\)

skorzystaj z kryterium porównawczego

[Pedersen]

a na jakiej podstawie zalozyles powyzszy warunek sory ale dopiero zaczynam przygode z szergami , z czego wynika to zalozenie ?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \forall x \ge 0 : \sin x \le x}\)

[Pedersen]

mozna jasniej ?

[alfgordon]

dowód możesz znaleźć tu:

[Pedersen]

moglbys mi to wyjasnic jakos 'lopatologicznie' bo chce i musze to zajarzyc

[alfgordon]

po prostu musisz znać tą nierówność i korzystając z niej jesteś w stanie zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sin \frac{2}{ \sqrt{n} } \le \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{ \sqrt{n} } =\frac{2}{n^{\frac{3}{2}}}}\)

(\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^{\alpha }}}\) -szereg zbieżny gdy \(\displaystyle{ \alpha >1}\) )

więc szereg (\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sin \frac{2}{ \sqrt{n} }}\) ) jest zbieżny, ponieważ \(\displaystyle{ \frac{3}{2}>1}\)

[Pedersen]

Moglbym mi ktos wytlumaczyc krok po kroku jakie sa przeksztalcenia dokonane powyzej i dlaczego wlasnie tak ?-- 9 listopada 2011, 10:15 --a dokaldnie ktore kryterium porownawcze tutaj wykorzystano ?

[Dasio11]

Kryterium porównawcze:    

Weźmy dowolne ciągi \(\displaystyle{ \left( a_n \right), \ \left( b_n \right).}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ \left| a_n \right| \le b_n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\) oraz jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) jest zbieżny, to również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ 0 \le a_n \le b_n}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest rozbieżny, to również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) jest rozbieżny.