Ciąg określony rekurencyjnie

[elpopo]

Ciąg określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a _{1} = \frac{1}{2}, a _{2} = 1, a _{n}= \frac{1}{2} a_{n-1} + \sqrt{a _{n-2} }}\)
Trzeba wykazać, że ciąg jest rosnący i ograniczony oraz obliczyć jego granicę.
Jak zabrać się do tego zadania? Próbowałam policzyć wyraz ogólny \(\displaystyle{ a _{n}}\), ale obliczenia są bardzo brzydkie, więc chyba nie o to chodzi. Proszę o pomoc.
K.

[Qń]

Spróbuj pokazać najpierw indukcyjnie, że ciąg jest ograniczony z góry przez czwórkę (załóż prawdziwość dla \(\displaystyle{ n-1}\) i \(\displaystyle{ n}\) i wykaż prawdziwość dla \(\displaystyle{ n+1}\)). Następnie (to trudniejsza część) również indukcyjnie wykaż, że ciąg jest rosnący, tzn. że różnica \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) jest dodatnia.

Ciąg rosnący i ograniczony z góry ma granicę, więc wystarczy w rekurencji przejść z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności, otrzymując:
\(\displaystyle{ g=\frac 12g +\sqrt{g}}\)
skąd łatwo obliczyć ile ta granica wynosi.

Q.

[elpopo]

A czy mógłby mi Pan jeszcze pomóc udowodnić, że różnica \(\displaystyle{ a _{n+1} - a _{n}}\) jest dodatnia? Bo cały czas piszę różne przekształcenia tych nierówności, ale jakoś nie potrafię dojść do dobrego wyniku.

[Qń]

Nie trzeba "Pan", Qń jestem .

Udało Ci się udowodnić już, że czwórka jest górnym ograniczeniem? Bo to będzie potrzebne w dowodzie monotoniczności.

Q.

[elpopo]

. Tak, udało.-- 6 lis 2011, o 21:18 --Aaach, już udowodniłam! Dziękuję za pomoc!

[kapokapo]

jak ogarneliscie ze 4 bedzie ograniczeniem górnym?

[Dasio11]

Wnioskowanie przebiegało następująco:

1. Treść zadania każe pokazać, że ciąg jest rosnący i znaleźć jego granicę. To oznacza, że ciąg jest rosnący i że ma granicę.

2. Metodą, którą napisał Pan Qń, dowodzimy, że \(\displaystyle{ g = 4.}\)

3. W takim razie wiemy, że ciąg jest rosnący i ma granicę \(\displaystyle{ 4.}\) Stąd wiadomo, że \(\displaystyle{ 4}\) jest ograniczeniem górnym.