Granica ciągu - definicja liczby eulera

[Pedersen]

Mam oto taka ciąg i muszę obliczyć jego granice jednak bardziej zależy mi na rozpisaniu tego krok po kroku tak zebym 'zajarzył', z gory dziekuje i pozdrawiam
\(\displaystyle{ \ \lim_{x \to + \infty } \left( \frac{ n^{2} +1}{2n ^{2}+1 }\right)^{n^{2} }}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty } \left( \frac{ n^{2} +1}{2n ^{2}+1 }\right)^{n^{2} }=\lim_{n \to + \infty } \left( 1+ \frac{ -n^2}{2n ^{2}+1 }\right)^{n^{2} }=\lim_{n \to + \infty } \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n ^{2}+1 }{-n^2 }} } }\right)^{n^{2} }=\lim_{n \to + \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n ^{2}+1 }{-n^2 }} \right) ^{\frac{2n ^{2}+1 }{-n^2 }} \right] ^{ \frac{n^2}{\frac{2n ^{2}+1 }{-n^2 }} }=(*)}\)

Teraz obliczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty } \frac{n^2}{\frac{2n ^{2}+1 }{-n^2 }}=- \infty}\)

\(\displaystyle{ (*)=e ^{- \infty} =0}\)

Skorzystałem z \(\displaystyle{ \lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e}\)

[Pedersen]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to + \infty } \left( \frac{ n^{2} +1}{2n ^{2}+1 }\right)^{n^{2} }=\lim_{n \to + \infty } \left( 1+ \frac{ -n^2}{2n ^{2}+1 }\right)^{n^{2} }=\}\)

Jakich tu dokonaleś przeksztalcen ?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{ n^{2} +1}{2n ^{2}+1 }=\frac{ 2n^{2}-n^2 +1}{2n ^{2}+1 }= \frac{2n^2+1}{2n^2+1} +\frac{ -n^2}{2n ^{2}+1 }=1+ \frac{ -n^2}{2n ^{2}+1 }}\)

[Dasio11]

Ten sposób jest niepoprawny, bo

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2}{2n^2+1} \neq 0.}\)


Najłatwiej chyba stwierdzić, że

\(\displaystyle{ 0<\frac{n^2+1}{2n^2+1}<\frac{3}{4}}\)

dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N},}\) a zatem

\(\displaystyle{ 0< \left( \frac{n^2+1}{2n^2+1} \right)^{n^2} < \left( \frac{3}{4} \right)^{n^2}}\)

i można skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

[kamil13151]

Ten sposób jest niepoprawny, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2}{2n^2+1} \neq 0.}\)

Możesz bardziej wyjaśnić? Gdzie w rozpisywaniu napisałem, że to tyle wynosi?

[Dasio11]

No dobrze. Czy twoje rozumowanie zawiera stwierdzenie, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2}} \right)^{\frac{-n^2}{2n^2+1}} = e?}\)

[kamil13151]

Nie zawiera, u mnie potęga jest odwrotnie, mam: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2}} \right)^{\frac{2n^2+1}{-n^2 }} = e}\).


Dasio11, granic nauczyłem się sam, także mogę mieć jakieś braki, jak na razie nie widzę błędu.

[Pedersen]

czyli jak to ma byc ostatecznie ? bo troche tego nei ograniam

[Dasio11]

A, faktycznie - namieszałem z potęgą.


To stwierdzenie jest błędne, bo

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2}} \right)^{\frac{2n^2+1}{-n^2 }} = \left( 1-\frac{1}{2} \right)^{-2}}\)

Równość

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1+a_n \right)^{\frac{1}{a_n}} = e}\)

zachodzi bowiem wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n=0.}\)

W naszym przypadku, \(\displaystyle{ a_n = -\frac{n^2}{2n^2+1},}\) zatem

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = -\frac{1}{2}.}\)

[kamil13151]

Równość

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1+a_n \right)^{\frac{1}{a_n}} = e}\)

zachodzi bowiem wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n=0.}\)

Kurczę, w kursie, z którego się uczyłem o tym nie było mowy, mógłbyś przedstawić jakiś dowód?

[Pedersen]

a moge proscic o jakis slowny komentarz bo nie chodzi mi tu o suchy wynik tylko same przeksztalcenia i ogolnie co sie dzieje z tym ciagiem

[alfgordon]

152288.htm
przykład 21

[Dasio11]

Prawidłowy jest na przykład ten sposób

Najłatwiej chyba stwierdzić, że

\(\displaystyle{ 0<\frac{n^2+1}{2n^2+1}<\frac{3}{4}}\)

dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N},}\) a zatem

\(\displaystyle{ 0< \left( \frac{n^2+1}{2n^2+1} \right)^{n^2} < \left( \frac{3}{4} \right)^{n^2}}\)

i można skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

lub ten, do którego link podał alfgordon.



kamil13151:

Możemy założyć, że ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n \right)}\) ma niezerowe elementy, bo inaczej wyrażenie \(\displaystyle{ \left(1+a_n \right)^{\frac{1}{a_n}}}\) nie jest określone dla wszystkich wyrazów ciągu.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0,}\)

to ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n \right)}\) można podzielić na dwa podciągi \(\displaystyle{ \left( a_n^* \right), \left( a_n^{**} \right),}\) wyrazów odpowiednio dodatnich i ujemnych ciągu \(\displaystyle{ \left( a_n \right).}\)
Skądinąd

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1+a_n^* \right)^{\cfrac{1}{a_n^*}} = e}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1+a_n^{**} \right)^{\cfrac{1}{a_n^{**}}}=e,}\)

a zatem

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1+a_n \right)^{\cfrac{1}{a_n}}=e.}\)


\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n \right)}\) nie zbiega do zera (może być zbieżny do innej liczby lub nie), to istnieje taka stała \(\displaystyle{ \delta>0,}\) że nieskończenie wiele elementów \(\displaystyle{ a_j}\) tego ciągu znajduje się w odległości większej niż \(\displaystyle{ \delta}\) od punktu \(\displaystyle{ 0,}\) a zatem

\(\displaystyle{ \left( 1+a_j \right)^{\frac{1}{a_j}} < \max \left\{ \left( 1+ \delta \right)^{\frac{1}{\delta}}, \left(1-\delta \right)^{-\frac{1}{\delta}} \right\}<e}\)

bo funkcja \(\displaystyle{ \left(1+x \right)^{\frac{1}{x}}}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (-1, 0)}\) i malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)
Dlatego liczba

\(\displaystyle{ \left(1+a_j \right)^{\frac{1}{a_j}}}\)

jest dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ j \in \mathbb{N}}\) odległa od \(\displaystyle{ e}\) o więcej niż

\(\displaystyle{ \min \left\{ \left| \left(1+\delta \right)^{\frac{1}{\delta}} - e \right|, \left| \left( 1-\delta \right)^{- \frac{1}{\delta}} -e \right| \right\} >0}\)

więc ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n \right)}\) nie może zbiegać do \(\displaystyle{ e.}\)