Kilka szeregów do sprawdzenia

[Folmi]

1)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{(1+x) ^{2n} }}\)
z Kryterium Cauchy'ego wychodzi, że szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x>0}\), dobrze?

2)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3n(x+4) ^{n} }}\)
Tu z D'Alemberta na pewno wychodzi że zbieżny dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle \cup (-3,\infty)}\)
dla \(\displaystyle{ x=-3}\) rozbieżny bo wychodzi szereg harmoniczny Dirichleta z n do potęgi 1, ale
dla \(\displaystyle{ x=-5}\)? zbieżny dlatego że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-1) ^{n} } < 1}\) czy z innego powodu?

[fon_nojman]

1) Zły wynik. Potraktuj to jako szereg geometryczny

\(\displaystyle{ x\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(1+x)^2}\right)^n.}\)

[yorgin]

2) Dla \(\displaystyle{ x=-5}\) dostajesz szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot(-1)^n}{3n}}\)

którego zbieżność wynika z kryterium Diricheta dla ciągów

\(\displaystyle{ a_n=\frac{2}{3n}\qquad b_n=(-1)^n}\)

Stwierdzenie postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-1) ^{n} } < 1}\)

jest nieprawdziwe, powyższa suma nie istnieje.

[Folmi]

1) Coś mi nie idzie :/
Korzystam ze wzoru z na granicę szeregu geometrycznego.
\(\displaystyle{ \frac{a _{1} }{1-q} \\ \\
a _{1} = \frac{1}{(1+x) ^{2} } \\ \\
q = \frac{1}{1+x}}\)

Wychodzi mi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1+x}{x(1+x )^{2} } = \frac{1}{x(1+x)} < 1}\)

z której już nic sensownego nie wychodzi, chyba że ma wyjść równanie kwadratowe z pierwiastkami
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-1-2 \sqrt{2} }{2} \\ \\
x _{2} = \frac{-1+2 \sqrt{2} }{2}}\)

2)

jest nieprawdziwe, powyższa suma nie istnieje.

dlaczego suma nie istnieje?

[fon_nojman]

1) \(\displaystyle{ q=\frac{1}{(1+x) ^{2} }}\)

nie potrzebnie wyliczasz tą sumę, jaki jest warunek na \(\displaystyle{ q}\) aby szereg geometryczny był zbieżny?

2)

dlaczego suma nie istnieje?

szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(-1) ^{n} }}\) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu, \(\displaystyle{ \frac{1}{(-1) ^{n} }\mathop{\not\to}_{n \to \infty}0.}\)

[Folmi]

\(\displaystyle{ \left| q \right| < 1}\)
ale to wtedy mi wychodzi taki sami wynik jak w 1szym poście
\(\displaystyle{ x(x+2) > 0 \\
x > 0}\)

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ x(x+2) > 0 \\
x > 0}\)

Złe rozwiązanie nierówności. Skąd to \(\displaystyle{ x>0}\)?

[Folmi]

No pierwszy x, ten przed nawiasem, jest większy od zera

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ x=-3}\) tez spełnia ta nierówność a jest mniejsze od zera.

[Folmi]

ahh,
\(\displaystyle{ x \in ( - \infty, -2 \rangle \cup \langle 0, \infty )}\)
tylko jak z tymi krańcami przedziału,
co oznacza gdy dla \(\displaystyle{ x=0, x=-2}\) suma szeregu jest stałą? zbieżny?
poza tym, z Cauchy'ego czy D'Alemberta też otrzymam wynik?

a wracając do szeregu z zad 2
dla
\(\displaystyle{ x = -5 \\
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3n\cdot(-1)^n}}\)
szereg jest w końcu zbieżny czy nie?

[fon_nojman]

1) Wstawiasz do szeregu \(\displaystyle{ x=-2}\) i \(\displaystyle{ x=0,}\) sprawdzasz czy jest zbieżny.

Otrzymasz z Cauchy'ego i D'Alemberta, tylko tak jak pokazałem jest prościej.

2) Przecież pisał yorgin

2) Dla \(\displaystyle{ x=-5}\) dostajesz szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot(-1)^n}{3n}}\)

którego zbieżność wynika z kryterium Diricheta dla ciągów

\(\displaystyle{ a_n=\frac{2}{3n}\qquad b_n=(-1)^n}\)

[Folmi]

1) No wiem że podstawiam i napisałem że wyszły mi stałe, a konkretnie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -2}\) - to oznacza, że zbieżny jest szereg dla tych x?

2) Mhm, wzmianka o nieistnieniu tamtej sumy mnie zmyliła.
ale widać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot(-1)^n}{3n}}\) nigdy nie będzie większy od 1 - to nie wystarczy?

[yorgin]

2)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i}\) nigdy nie przekroczy \(\displaystyle{ 2}\) a nie jest zbieżny.

Gdyby ciąg sum częściowych był rosnący, to ograniczenie górne wystarczy.

[fon_nojman]

1) Dla \(\displaystyle{ x=0}\) suma szeregu wynosi \(\displaystyle{ 0,}\) ale dla \(\displaystyle{ x=-2}\) szereg jest rozbieżny np nie spełnia warunku konicznego zbieżności.