granica ciągu i Stoltz

[Owca90]

Policzyć ile wynosi granica ciągu \(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{ a_{1} }{ \sqrt{1} } +\frac{ a_{2} }{ \sqrt{2}}+...+\frac{ a_{n} }{ \sqrt{n} }} \right)}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ \lim a_n =a}\)

Będę wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu i cenne sugestie przy takich zadaniach.

[frej]

Znasz tw. Stolza?

[Owca90]

znam, sęk w tym, że nie wiem jak je zastosować bo widzę tu jeden ciąg a nie dwa.

[frej]

To może napiszę to tak:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{\sqrt{k}}}{\sqrt{n}}}\)

Jaki masz teraz pomysł?

[Owca90]

widzę dwa ciągi, ale nie potrafię dopasować ich do twierdzenia, nie wiem jak określić wyrazy w ciągach...;/-- 18 wrz 2011, o 19:07 --\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a_k}{\sqrt{k}}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}\) ?

[frej]

Ok, jest nieźle. Teraz dokładnie zdefiniuj czym jest \(\displaystyle{ a_n, b_n}\), żeby wszystko miało ręce i nogi.

[Owca90]

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a_n}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}\)

mój ciąg \(\displaystyle{ b_n=\frac{a_k}{\sqrt{k}}}}\)
a \(\displaystyle{ a_n=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}\)

nie wiem co by tu zdziałać z \(\displaystyle{ b_n}\), bo tak nie może zostać...

[frej]

\(\displaystyle{ \alpha_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{i}}}\)
\(\displaystyle{ \beta_n=\sqrt{n}}\)

Właśnie zauważyłem, że w 2 miejscach był ciąg \(\displaystyle{ a_n}\)...
Jakie są założenia twierdzenia Stolza dotyczące ciągów \(\displaystyle{ (\alpha_n ) , (\beta_n )}\)?

[Owca90]

\(\displaystyle{ \frac{ a_{n} -a_{n-1}}{b_{n} -b_{n-1}}}\)

[frej]

Chodzi mi o to, że \(\displaystyle{ (\beta_n) \rightarrow \infty}\)-- 18 września 2011, 19:27 --Tu akurat jest to banalne do sprawdzenia, ale czasami się o tym zapomina. Pamiętałabyś, żeby sprawdzić ten warunek gdyby to \(\displaystyle{ \alpha_n}\) było w mianowniku?

To teraz liczymy granicę \(\displaystyle{ \frac{\alpha_n - \alpha_{n-1}}{\beta_n - \beta_{n-1}}}\)

[Owca90]

a co z tym, że \(\displaystyle{ \lim an = a}\) ?
i ja nadal nie wiem co tu zrobić z tym an ?

[frej]

Spokojnie, to przyda się przy liczeniu granicy, o której wspomniałem w poprzednim poście. Tak jak mówiłaś wcześniej, trzeba policzyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{a_n}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}\)

No to do dzieła.

[Owca90]

doszłam do etapu : \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{an}{n- \sqrt{ n^{2} -n} }}\) i nic mądrego mi nie wychodzi...

[frej]

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, tzn. przez \(\displaystyle{ \frac{n+\sqrt{n^2-n}}{n+\sqrt{n^2-n}}}\)

[Owca90]

Wyszło mi coś takiego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } an+1}\)