Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)
: 10 wrz 2011, o 17:48
Z góry przepraszam za umieszczenie tego w tym dziale, ale przeszukałem całe forum i nigdzie nie ma działu od nierówności, ale wydaje mi się że ten dział jest najbliższy duchem. Jeśli coś przeoczyłem to proszę o przeniesienie tam gdzie trzeba.
Treść zadania: Pokazać, że
\(\displaystyle{ (\sum_{j=1}^{n} a_j)^2+ (\sum_{j=1}^{n} (-1)^j a_j)^2 \leq (n+2) \sum_{j=1}^{n} a_j ^2}\)
Zastosowanie nierownosci Cauchy'ego daje 2n * (suma po prawej) czyli w zasadzie dwa razy za duzo. Czyli trzeba znalezc jakis inny sposob, w moim wypadku jest to "na chama":
Po wymnozeniu lewej strony dostaje:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + \sum_{1\leq i \neq j \leq n } a_i a_j - \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i \neq j \mod 2} a_i a_j + \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)
Po skróceniu zostaje
\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + 2 \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)
Czyli chcemy teraz pokazać, że drugi skladnik szacuje sie przez \(\displaystyle{ n\sum a_j ^2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 2ab \leq a^2 + b^2}\), więc
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} 2 a_i a_j \leq \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} (a_i ^2 + a_j ^2 )}\)
Niech n bedzie parzyste.
Po rozpisaniu powyzszej sumy, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) , niezaleznie od parzystosci wskaznika i, pojawi się raz w co drugim wierszu (oprócz swojego "własnego") i \(\displaystyle{ \frac{n}{2} -1}\) w swoim "własnym", czyli w sumie \(\displaystyle{ n - 2}\) razy. Zatem dla n parzystego ograniczeniem jest \(\displaystyle{ (n-2)\sum a_j ^2}\). To juz jest podejrzane bo liczylem na n, a otrzymanie zbyt silnego szacowanie raczej wskazuje na blad. Jednak nie moge go znalezc!
Zobaczmy jeszcze na n nieparzyste:
Po rozpisaniu, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) "nieparzysty" (tzn. gdzie i jest nieparzyste) pojawi się w większej części wierszy, czyli \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\) raz (oprócz swojego wiec -1 od tego), a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} -1}\) razy czyli w sumie \(\displaystyle{ n-1}\) razy. Dla \(\displaystyle{ a_i ^2}\) o parzystych wskaznikach, pojawia sie w \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) wierszach, oprocz swojego, a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} -1}\), czyli znow w sumie dwa razy tyle, czyli \(\displaystyle{ n-3}\) . Tak czy siak, gdzies brakuje tego jednego \(\displaystyle{ \sum a_j ^2}\), bo w najlepszym wypadku szacuje sie przez n-1.
To zadanie doprowadza mnie do bialej goraczki, siedze nad tym juz drugi dzien i nie widze gdzie zrobilem blad. Zdaje mi sie ze pewnie w zliczaniu tych wyrazow na koncu, ale nie umiem go znalezc. Prosze o wytkniecie bledu!
Treść zadania: Pokazać, że
\(\displaystyle{ (\sum_{j=1}^{n} a_j)^2+ (\sum_{j=1}^{n} (-1)^j a_j)^2 \leq (n+2) \sum_{j=1}^{n} a_j ^2}\)
Zastosowanie nierownosci Cauchy'ego daje 2n * (suma po prawej) czyli w zasadzie dwa razy za duzo. Czyli trzeba znalezc jakis inny sposob, w moim wypadku jest to "na chama":
Po wymnozeniu lewej strony dostaje:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + \sum_{1\leq i \neq j \leq n } a_i a_j - \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i \neq j \mod 2} a_i a_j + \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)
Po skróceniu zostaje
\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + 2 \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)
Czyli chcemy teraz pokazać, że drugi skladnik szacuje sie przez \(\displaystyle{ n\sum a_j ^2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 2ab \leq a^2 + b^2}\), więc
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} 2 a_i a_j \leq \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} (a_i ^2 + a_j ^2 )}\)
Niech n bedzie parzyste.
Po rozpisaniu powyzszej sumy, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) , niezaleznie od parzystosci wskaznika i, pojawi się raz w co drugim wierszu (oprócz swojego "własnego") i \(\displaystyle{ \frac{n}{2} -1}\) w swoim "własnym", czyli w sumie \(\displaystyle{ n - 2}\) razy. Zatem dla n parzystego ograniczeniem jest \(\displaystyle{ (n-2)\sum a_j ^2}\). To juz jest podejrzane bo liczylem na n, a otrzymanie zbyt silnego szacowanie raczej wskazuje na blad. Jednak nie moge go znalezc!
Zobaczmy jeszcze na n nieparzyste:
Po rozpisaniu, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) "nieparzysty" (tzn. gdzie i jest nieparzyste) pojawi się w większej części wierszy, czyli \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\) raz (oprócz swojego wiec -1 od tego), a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} -1}\) razy czyli w sumie \(\displaystyle{ n-1}\) razy. Dla \(\displaystyle{ a_i ^2}\) o parzystych wskaznikach, pojawia sie w \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) wierszach, oprocz swojego, a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} -1}\), czyli znow w sumie dwa razy tyle, czyli \(\displaystyle{ n-3}\) . Tak czy siak, gdzies brakuje tego jednego \(\displaystyle{ \sum a_j ^2}\), bo w najlepszym wypadku szacuje sie przez n-1.
To zadanie doprowadza mnie do bialej goraczki, siedze nad tym juz drugi dzien i nie widze gdzie zrobilem blad. Zdaje mi sie ze pewnie w zliczaniu tych wyrazow na koncu, ale nie umiem go znalezc. Prosze o wytkniecie bledu!