Wyznaczyć środek, promień zbieżności oraz obszar zbieżności

[gobi12]

Wyznaczyć środek, promień zbieżności oraz obszar zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\ln n}{n 2^{n} } (x-3)^{n}}\)


Środek dla x=3

przy liczeniu promienia użyłem \(\displaystyle{ \\ R=\frac{1} {\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1} \over a_n}\right|}}\). i wyszło mi r=3.

Teraz powinienem chyba zbadać zbieżność szeregów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{3^{n} \ln n }{n 2^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-3^{n} \ln n }{n 2^{n} }}\)

No i właśnie nie wiem jak to zrobić

[Lorek]

Ten promień to na pewno 3? Bo mi wyszło co innego.

[gobi12]

Gdy drugi raz policzyłem promień to też mi coś inaczej wyszło:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a _{n+1} }{a _{n} } \right| = \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{\ln \left(n+1\right)}{\left(n+1\right)2 ^{n+1} } \cdot \frac{n2 ^{n} }{\ln \left(n\right)}\right) = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n}{\left(n+1\right)2} \cdot \frac{\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)} \right)= \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n}{\left(n+1\right)2}\right) + \lim_{n \to \infty } \left(\frac{\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ r= \frac{2}{3}}\)
Nawet jeżeli to jest ok to nadal nie wiem jak sprawdzić obszar zbieżności.

[Lorek]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n}{\left(n+1\right)2} \cdot \frac{\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)} \right)= \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n}{\left(n+1\right)2}\right) + \lim_{n \to \infty } \left(\frac{\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)}\right)}\)

Od kiedy to zachodzi taki wzór?

[gobi12]

Oj ale głupi liczyłem to pisząc w LaTeXie i pomyliłem z logarytmem.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n}{\left(n+1\right)2} \cdot \frac{\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)} \right)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ r=2}\)

czyli mam do sprawdzenia zbieżność:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{2^{n} \ln n }{n 2^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-2^{n} \ln n }{n 2^{n} }}\)

[Lorek]

W tym drugim to \(\displaystyle{ (-2)^n}\)

[gobi12]

Tak, masz rację. Problem w tym, że nie wiem jak sprawdzić obszary zbieżności w takim przypadku.

[Lorek]

No jak, normalnie, zbieżny jest wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ (x_0-r,x_0+r)}\) rozbieżny na zewnątrz, a na brzegach trzeba sprawdzać "ręcznie".

[gobi12]

Właśnie chodzi o te sprawdzenie ręczne. Nie idzie mi ono w tym przypadku.

[Lorek]

\(\displaystyle{ 2^n}\) możesz skrócić przecież, a \(\displaystyle{ (-2)^n=(-1)^n\cdot 2^n}\) i już masz prostsze szeregi.

[gobi12]

Czyli mam:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\ln n }{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-1^{n} \ln n }{n}}\)

O ile pierwszy poszedł mi w miarę łatwo z kryterium porównawczego:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n} \le \frac{ \sqrt{n} }{n} = \frac{1}{n ^{ \frac{1}{2} } }}\)
Czyli jest rozbieżny.
Ale z drugim nie mogę sobie poradzić. Kryterium d'Alamberta daje 1 jako wynik. Z Leibniza nie mogę skorzystać bo ciąg \(\displaystyle{ a _{n}}\) jest rosnący.

[bakala12]

Z Leibniza nie mogę skorzystać bo ciąg a _{n} jest rosnący.

Nieprawda, możesz użyć tego kryterium.

[Lorek]

O ile pierwszy poszedł mi w miarę łatwo z kryterium porównawczego:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n} \le \frac{ \sqrt{n} }{n} = \frac{1}{n ^{ \frac{1}{2} } }}\)
Czyli jest rozbieżny.

Akurat z tego szacowania to nic nie wynika wsk. -> \(\displaystyle{ \ln n\ge \ln 2}\)

[gobi12]

Z Leibniza nie mogę skorzystać bo ciąg a _{n} jest rosnący.

Nieprawda, możesz użyć tego kryterium.

Jak mogę go użyć skoro nawet w tym dziale w warunkach korzystania z tego kryterium jest napisane:

Niech dany będą ciągi a_n, taki że wyrazy a_n od pewnego miejsca maleją i ciąg ten zbiega do zera.

A przecież \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}}\) jest malejący dla \(\displaystyle{ 2 \le n \le \infty}\)

[Lorek]

Niech dany będą ciągi a_n, taki że wyrazy a_n od pewnego miejsca maleją i ciąg ten zbiega do zera.

A przecież \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}}\) jest malejący dla \(\displaystyle{ 2 \le n \le \infty}\)

Nie ma o jak samemu sobie odpowiedzieć na pytanie (i jeszcze się zastanawiać czy wszystko jest ok).